Linee di scienza

Vi ricordate il post su Auriga e le onde gravitazionali? Oggi, sempre nell’ottica di presentare alla classe esempi di centri di ricerca in Italia, parlerò dei Laboratori Nazionali del Gran Sasso, dell’Istituto Nazionale di Fisica Nucleare (Infn). La forma “scheda didattica” mi sembra quella più comoda: si parte con una introduzione dedicata alla parte della Fisica studiata nei laboratori, per poi passare alla descrizione degli esperimenti e ai loro attuali risultati e finire con eventuali esercizi. Ho cercato di porre particolare attenzione ai collegamenti con il programma che studiamo a scuola e agli approfondimenti, soprattutto con i neutrini che negli ultimi tempi sono diventati le “star” delle particelle (si veda, per esempio, il post “neutrini alla lavagna”).

Fisica delle particelle e astrofisica nucleare

Nella pagina web introduttiva ai Laboratori, si legge: «Principali argomenti di ricerca dell’attuale programma sono: la fisica dei neutrini naturalmente prodotti nel Sole e in esplosioni di Supernova, e lo studio delle oscillazioni del neutrino attraverso un fascio di neutrini provenienti dal Cern (programma Lngs), la ricerca della massa del neutrino in decadimenti doppio b senza emissione di neutrini, la ricerca sulla materia oscura e lo studio di reazioni nucleari di interesse astrofisico». Gli argomenti sono fra quelli previsti dalla riforma per la classe quinta liceo scientifico, ben sintetizzati nella pagina web intitolata “Viaggio ai laboratori dell’Infn” nella lista seguente:

1. Raggi cosmici
2. Materia oscura
3. Neutrini
4. Radioattività

Per quanto riguarda i neutrini, sono catalogati in tre famiglie o “sapori”: vale a dire neutrini elettronici, muonici e tauonici. Alcune volte i neutrini possono “oscillare” in maniera periodica e trasformarsi da un sapore all’altro.

Le origini dei neutrini sono molte e riassumibili nella seguente lista di sorgenti naturali (come riporta il sito Infn già citato):

• Neutrini terrestri dovuti alla radioattività naturale di minerali terrestri
• Neutrini atmosferici prodotti dai raggi cosmici che bombardano l’atmosfera
• Neutrini solari prodotti dalle reazioni di fusione sul sole
• Neutrini da esplosioni di supernovae
• Neutrini fossili prodotti durante il Big-Bang

E sorgenti artificiali:

• Neutrini da acceleratori di particelle: ai Lngs si rivelano quelli prodotti al Cern
• Neutrini da reattori nucleari prodotti dalle reazioni di fissione nucleare che avvengono all’interno di un reattore nucleare.

I neutrini, essendo privi di carica e con massa estremamente piccola rispetto a tutte le altre particelle, interagiscono pochissimo con la materia (che per loro risulta essere come “trasparente”) . Per intercettarli bisogna costruire rivelatori massivi (di molte tonnellate) posti in un ambiente a bassa radioattività naturale e nel quale sia limitato il flusso di altre particelle di “disturbo” come quelle nei raggi cosmici.

Gli esperimenti e i Laboratori

I laboratori nazionali del Gran Sasso sono i più grandi laboratori sotterranei del mondo e sono sede di circa 15 esperimenti in collaborazione con 29 Paesi diversi.

Ci soffermiamo sull’esperimento “Borexino” (nell’immagine) perché è apparso di recente sulle pagine dei giornali scientifici con due notizie, riguardanti i geoneutrini e i neutrini “sterili”.

I geoneutrini provenienti dal mantello terrestre sono stati scoperti nel 2010 proprio da Borexino e i nuovi dati presentati quest’anno alla Conferenza Internazionale sulla scienza dei neutrini tenutasi a Venezia, confermano la presenza nel mantello di elementi radioattivi sia della famiglia uranio-238 sia di quella del torio-232. Questi elementi sono responsabili del riscaldamento del nostro pianeta perché producono in continuazione energia termica e gli ultimi dati hanno rivelato che l’entità di tale energia è di circa la metà dell’energia termica totale della Terra. Questi risultati smentiscono la teoria che prevede che il riscaldamento terrestre provenga solo dai giacimenti di uranio presenti nel nucleo centrale, il cosiddetto geo-reattore. I dati inoltre sono in accordo con le misure effettuate su meteoriti provenienti dallo spazio, che presentano lo stesso rapporto fra uranio e torio di quello del mantello terrestre: si confermano così le teorie sull’origine del sistema solare.

I neutrini “sterili” sono invece stati ipotizzati per spiegare alcune anomalie del fenomeno delle oscillazioni dei neutrini; durante queste oscillazioni infatti si produce un numero di neutrini inferiore a quello previsto dalla teoria e per spiegare questa scomparsa si è pensato che potrebbero esistere dei neutrini “sterili” capaci di mescolarsi alle tre famiglie note e soprattutto tali da non interagire attraverso alcuna delle interazioni del Modello standard. Se fossero rivelati sperimentalmente quindi, espanderebbero il mondo delle particelle sinora previste teoricamente, che coinvolge l’interazione elettromagnetica, nucleare forte e debole. La notizia è del 12 giugno scorso: il Consiglio Europeo delle Ricerche ha finanziato con 3,5 milioni di euro il Progetto Sox (Short distance neutrino Oscillations with BoreXino) che nei prossimi cinque anni cercherà di rivelare questi nuovi neutrini. La loro esistenza inoltre potrebbe dare “nuovi indizi sulla natura della materia oscura” come afferma il fisico Marco Pallavicini che coordina il progetto.

I laboratori del Gran Sasso organizzano visite guidate anche per le scolaresche. Tutte le informazioni sono sul sito web.

Infine, un utile esercizio di Clil è quello di capire come funziona il rivelatore Borexino; in rete infatti per ora è disponibile solo una descrizione in Inglese, essendo un progetto internazionale. Seguite il link “about Borexino” e … buon lavoro!

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Nella seconda prova dell’esame di Stato per il liceo scientifico (corso di ordinamento) del 2011, fra i dieci quesiti compariva il seguente: «In che cosa consiste il problema della quadratura del cerchio? Perché è così spesso citato?».

immagine: Muliere, Quadratura del cerchio, 1995

Il problema della quadratura del cerchio consiste nel costruire con riga e compasso (cioè con costruzioni geometriche che utilizzino solo rette e circonferenze) un quadrato che abbia la stessa area di un cerchio oppure – in maniera equivalente – un quadrato il cui perimetro abbia la stessa lunghezza della circonferenza. La sua risoluzione è impossibile. E questo è un primo motivo per la sua celebrità. Il secondo è che fa parte, insieme alla trisezione dell’angolo (“determinare con riga e compasso un angolo di ampiezza un terzo di un angolo dato”) e alla duplicazione del cubo (“determinare con riga e compasso un cubo di volume doppio di un cubo di spigolo dato”), dei tre problemi classici della geometria euclidea. Il matematico Lindemann nel 1882 ha dimostrato algebricamente che tutti e tre i problemi non si possono risolvere con riga e compasso. Dal punto di vista algebrico infatti, il problema della quadratura del cerchio si può rappresentare con un’equazione che uguaglia l’area del cerchio (di lato R) a quella del quadrato (di lato L): πR² = L². Lindemann dimostrò che pigreco è un numero trascendente e quindi non può essere rappresentato come il rapporto dei due numeri interi. Non è quindi possibile realizzare con riga e compasso segmenti lunghi pigreco.

Il problema è talmente famoso che è stato citato perfino da Dante nel Paradiso della Divina Commedia nel XXXIII canto, nelle terzine 123-138 che iniziano con i celebre versi “Qual è il geometra che tutto s’affige / Per misurar lo cerchio, e non ritrova,”… Il problema della quadratura del cerchio è stato trattato da Dante anche in altri frangenti, come si legge in questa pagina di un interessante ipertesto on line intitolato “Dantematica” a cura di Maddalena Falanga e Luciano Battaia.

Gianluigi Filippelli ha realizzato con Geogebra una dimostrazione senza parole di come il cerchio rotolante possa quadrare se stesso. Animazione citata anche dall’ottimo lavoro on line di Marco Cameriero (che è stato riportato anche nel sito Matematicamente): ne consiglio la lettura anche perché contiene materiali da portare direttamente in classe, soprattutto quelli sui metodi di approssimazione della quadratura del cerchio, che sono delle vere e proprie schede didattiche già pronte.

Come collegamento al tema trattato, si possono studiare gli altri due problemi classici già citati oppure approfondire i due argomenti seguenti:

1) Il teorema delle lunule di Ippocrate, che rappresenta «la prima quadratura rigorosa di un’area curvilinea» (come si legge in “Le curve celebri” di Luciano Cresci, Orme ed.). Si tratta di un teorema che nacque in seguito alla ricerca della quadratura del cerchio e afferma che “Segmenti di cerchio simili stanno tra loro come i quadrati costruiti sulle loro basi”. Nella pagina web del sito “base 5” trovate la dimostrazione che l’area della lunula è uguale a quella del triangolo rettangolo:

2) La curva denominata “quadratrice di Dinostrato” che (sempre dal libro di Cresci) grazie all’utilizzo della trisettrice di Ippia, riesce a quadrare il cerchio. Se ci si riferisce all’animazione seguente (trovata su Wikipedia), Dinostrato ha dimostrato che il segmento DC è medio proporzionale tra l’arco DB e il segmento AF: «è così possibile ottenere un segmento rettilineo della lunghezza dell’arco DB» spiega nel suo libro Luciano Cresci «pari ad un quarto di circonferenza. Di qui è facile, con semplici costruzioni geometriche, arrivare ad un quadrato della stessa area di un cerchio di raggio DC».

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La notizia è di quest’anno: in un articolo di gennaio della rivista Science, il gruppo di ricerca dell’Università Ludwig Maximilian di Monaco di Baviera e del Max Planck Institut per l’ottica quantistica di Garching ha annunciato di aver «congelato un gas di atomi di potassio a una temperatura assoluta negativa, apparentemente valicando un limite teorico imposto dalla fisica» (come si legge nel relativo articolo on line del giornale Galileo). La temperatura assoluta, regolata dalla scala Kelvin, infatti prevede un valore limite inferiore, il cosiddetto “zero assoluto” 0 Kelvin, che corrisponde a – 273,15 °C.

Fenomeni quantistici

La definizione di temperatura assoluta di un gas introdotta da Kelvin e interpretata come l’indice macroscopico dell’energia cinetica media delle particelle che compongono il gas prevede infatti che allo zero assoluto tutte le particelle siano in media ferme. Ogni singola particella può possedere velocità (ed energia cinetica) diversa, ma in media tutto il sistema all’equilibrio ricade nello stato più probabile (quello ottenibile nel maggior numero di modi). L’origine della temperatura quindi risiede nella meccanica statistica e la formula per determinare lo stato più probabile delle energie di un gas è stata determinata da Boltzmann con la sua famosa distribuzione. Secondo questa distribuzione, il numero di particelle ad alta energia diminuisce esponenzialmente all’aumentare dell’energia stessa: così come al diminuire dell’energia cinetica, il numero delle particelle con energia sempre più bassa aumenta (e forma lo stato più probabile).
Se l’energia è quantizzata però, la definizione di temperatura deve tener conto anche dell’entropia: in un sistema classico l’entropia è legata alla temperatura perché all’aumentare di quest’ultima aumenta anche il disordine del sistema e cioè la sua entropia. Nei sistemi quantistici invece può succedere che all’aumentare della temperatura (fornendo energia) il sistema diventi più ordinato in modo tale che si abbia una “inversione” della distribuzione di Boltzmann in cui gli stati più probabili aumentano all’aumentare dell’energia (invece di diminuire). Ed è appunto quello che succede nei sistemi a temperatura assoluta negativa, come spiega l’articolo di Galileo: «gli scienziati sono riusciti a realizzare un gas in cui la distribuzione di Boltzmann è invertita: molte particelle con energie elevate e poche con energie basse. È a quest’inversione che ci si riferisce quando si parla di temperatura assoluta negativa. […]. “Il gas non è più freddo dello zero Kelvin, ma addirittura più caldo, in realtà: semplicemente, la scala della temperatura, anziché arrivare all’infinito, salta a valori negativi”: è evidente che si tratta di un concetto ben più sottile della colonnina di mercurio che siamo abituati a misurare nel termometro».

Immagine: LMU/MPQ Munich

Termodinamica classica e quantistica

A livello di scuola secondaria può essere utile sottolineare come la definizione di temperatura sia legata alla nostra conoscenza degli stati microscopici e che quindi più ci si addentra nella meccanica quantistica, più possono emergere fenomeni termici diversi da quelli macroscopici che sperimentiamo nel quotidiano. Uno di questi è senz’altro il passaggio di calore spontaneo da un corpo freddo a uno più caldo (quindi in contraddizione con il principio zero della termodinamica classica che afferma che il calore passa spontaneamente sempre da un corpo caldo a uno più freddo). L’altro fenomeno è quello già citato della diminuzione di entropia di un sistema riscaldato: fornendo energia a un gas quantistico esso, invece di espandersi, si contrae.

Prospettive

L’altro aspetto da non sottovalutare sono le applicazioni future per la fisica dei materiali (con la creazione di nuovi stati di materia che alle usuali temperature non sono stabili) o per la realizzazione di nuovi motori termici (che «convertono l’energia termica in lavoro meccanico, ma con una efficienza senza precedenti» come si legge nel seguente articolo di Gravità Zero) o ancora per i modelli cosmologici (per comprendere il comportamento dell’energia oscura ).

Esercizio di statistica

La fonte è universitaria, ma il primo esercizio di pagina 2 su può assegnare; è il seguente: “Calcolare il peso statistico di tutte le configurazioni possibili per un sistema di quattro particelle, i cui livelli di particella singola sono 0, E, 2E, …, jE, per un valore totale di 3E dell’energia totale. Scrivere la probabilità relativa a ciascuna configurazione possibile e calcolare il numero di occupazione medio per ogni livello”. Trovate anche la soluzione e un seguito con il calcolo della probabilità massima per un sistema di N particelle che ricava la distribuzione di Boltzmann (che forse può essere utile come approfondimento per le classi quinte dei nuovi licei scientifici).
Per ulteriori particolari sull’esperimento consiglio l’articolo su Le Scienze (oltre a quelli che ho già citato).

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Il 2013 è l’anno della Matematica per il pianeta terra (MPE2013 Mathematics of Planet Earth 2013) una iniziativa promossa da più di cento organizzazioni, società scientifiche, istituti di ricerca e università di tutto il mondo. Su LinxMagazine il gruppo di matematici italiani che figura sotto lo pseudonimo di “Loretta Salino” ha scritto un articolo interessante, con un approfondimento sulla teoria del caos di Lorenz e sui sistemi dinamici non lineari.

In questo periodo dell’anno gli studenti delle classi quinte, oltre a prepararsi per l’esame, stanno pensando a quale facoltà scegliere e fornire loro materiale informativo sulla matematica applicata è di sicuro un aiuto in più: riporto quindi le frasi finali dell’articolo:

«Per i futuri scienziati la sfida che si apre è quella di mettere a fattor comune le esperienze svolte fin qui in diversi campi allo scopo di sviluppare nuovi modelli adatti a sistemi ancora più complessi, in cui le dinamiche degli ecosistemi interagiscono con quelle delle economie umane. Saranno centrali tutte quelle branche della matematica che sapranno fare da ponte tra i diversi ambiti della scienza. Per fare alcuni esempi: la biomatematica, i processi stocastici, le teorie del controllo ottimale, la matematica finanziaria, la teoria dei giochi. Gli studenti interessati a lavorare in questa direzione potranno sfruttare le iniziative di MPE2013 per programmare nel modo migliore il proprio piano di studi, nella speranza che a una nuova matematica corrispondano nuovi stili di vita, più sostenibili, meno aggressivi, più rispettosi dell’equilibrio del nostro pianeta».

Per quanto riguarda il mese di aprile in particolare, l’American Mathematical Society, l’American Statistical Association, la Mathematical Association of America, e la Society for Industrial and Applied Mathematics hanno indetto per il Mathematics Awareness Month (“mese della consapevolezza/sensibilizzazione della matematica”) il seguente tema: “Mathematics of Sustainability” (la matematica della sostenibilità). Se si esplora il poster interattivo on line è possibile rendersi conto di quanti siano i campi di applicazione nei quali la matematica può portare un contributo attivo: dalle città (a partire dagli edifici sostenibili), ai ghiacciai, ai cambiamenti climatici, all’agricoltura…

Uno dei tanti esempi da portare agli studenti può essere, per esempio, quello del coefficiente o indice di Gini. Ideato nei primi del Novecento dallo statistico italiano Corrado Gini, è un numero compreso fra 0 e 1 che può dare una stima delle disuguaglianze all’interno di una popolazione; misura quanto una risorsa è distribuita in maniera equa: se vale zero l’uguaglianza è completa e più si avvicina all’unità, più la risorsa è invece concentrata solo nelle mani di piccoli gruppi.
Come si legge su Wikipedia:

«La definizione matematica del coefficiente di Gini si basa sulla curva di Lorenz della distribuzione ed è legata all’area compresa fra la linea di perfetta uguaglianza e la curva di Lorenz. Il coefficiente di Gini è definito come il rapporto fra l’area compresa tra la linea di perfetta uguaglianza e la curva di Lorenz (A) e l’area totale sotto la linea di perfetta uguaglianza (A+B), ovvero G = A / (A+B). Siccome l’intervallo sull’asse x va da 0 a 1, allora A + B = 0.5 e dunque il coefficiente di Gini è anche uguale a G = 2A = 1 – 2B». Nel seguente grafico la zona colorata rappresenta il coefficiente di Gini (asse delle x percentuale della popolazione e asse delle y percentuale del reddito).»

In un articolo dell’11 marzo 2013 il Corriere della Sera cita proprio l’indice di Gini per analizzare le disuguaglianze di reddito in Italia e in Europa (misurato fra 0 e 100). Con la crisi la classe media si impoverisce e l’indice di Gini cresce…

Fra le iniziative di quest’anno vi segnalo infine la settimana MPE2013 che inizia il 15 aprile a Milano a cura del Dipartimento di Matematica “F. Enriques” e con il patrocinio dell’Accademia nazionale dei Lincei e dell’Istituto lombardo Accademia di scienze e lettere. Tre giorni di conferenze pomeridiane affiancate da due mostre e un Convegno. Il programma della manifestazione è a questo indirizzo.

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Quando ho spiegato il campo magnetico ho scoperto che pochissimi in classe (una quinta liceo scientifico, ma succedeva anche per la quarta liceo psicopedagogico) erano a conoscenza della differenza fra poli geografici e poli magnetici terrestri. La maggior parte era stupita e interessata e ha fatto molte domande. Mi è tornata alla memoria una situazione simile di una mia compagna di studi all’università che aveva “scoperto” le fasce di Van Allen che io invece avevo studiato al liceo… insomma il magnetismo terrestre è qualcosa che affascina e che è in grado ancora di generare meraviglia e lo sanno bene i catastrofisti della fine del mondo del 2012 che su questo argomento hanno speculato con assurdità di ogni tipo.

I concetti più interessanti sono:

1) Il polo geografico corrisponde al polo magnetico opposto e cioè il polo Nord geografico coincide con il polo Sud magnetico e viceversa. Le motivazioni sono di tipo storico: il polo della bussola che indica il Nord della terra è stato ovviamente chiamato Nord, anche se il fatto di essere attratto dal Nord dimostra in realtà che è un polo Sud (Nord e Sud si attraggono). “Voi avreste fatto lo stesso?” ho chiesto ai miei studenti, che si sono immedesimati nella parte di esploratori in spedizione verso il polo Nord: viene proprio naturale chiamare Nord la parte della bussola che punta a Nord. Un po’ come è successo per il verso della corrente elettrica, che si pensava fosse generata da cariche in moto positive… mentre poi si è scoperto che sono gli elettroni (carichi negativamente) a muoversi. Però ormai il “danno” era fatto e così la consuetudine rende quasi impossibile tornare indietro: il verso della corrente in un filo conduttore è rimasto opposto a quello dello scorrere degli elettroni. Studiare l’elettromagnetismo è formativo anche perché fa emergere gli aspetti convenzionali del metodo scientifico che presuppongono un accordo comune su certi punti (come i segni positivo e negativo delle cariche o la determinazione del punto zero del potenziale…).
2) La terra può essere vista come un grande magnete: perché? La spiegazione più accreditata considera il campo geomagnetico come generato dalle cariche in moto delle intense correnti elettriche del nucleo terrestre. L’asse del dipolo magnetico è spostato di circa 11° rispetto a quello di rotazione terrestre.
3) Il campo geomagnetico ci protegge dalle radiazioni solari ionizzanti che altrimenti avrebbero distrutto la vita sul pianeta (fasce di Van Allen, ecc.), è uno “scudo” contro il vento solare. Il campo magnetico terrestre cattura le particelle provenienti dal sole e le indirizza verso i poli: conseguenze meravigliose di questo fatto sono le aurore polari.

4) Il campo magnetico terrestre non è costante: vi sono variazioni giornaliere e secolari. Dall’analisi di antiche formazioni rocciose ignee e sedimentarie è risultato che il campo ha subito una serie di inversioni di polarità distanziate in media da un intervallo di tempo di 200.000 anni. Durante il periodo nel quale i poli si scambiano, il campo magnetico diventa sempre più debole fino a “scomparire” per poi riapparire invertito. Le cause di questo fenomeno non sono ancora state individuate con sicurezza. Il satellite Oersted in orbita intorno alla terra ha misurato enormi variazioni del campo magnetico locale, confrontandoli con i dati raccolti precedentemente dal satellite Magsat. Come sostiene Gauthier Hulot dell’Institut de Physique du Globe a Parigi, potremmo trovarci proprio in uno dei momenti di inversione, che durano anche 4000 anni.
Gary A Glatzmaier, professore di scienze all’Università della California di Santa Cruz ha realizzato una serie di simulazioni al computer dell’inversione del campo magnetico terrestre, rappresentate dalle immagini che seguono. Per saperne di più si può guardare un video a questo indirizzo e consultare la pagina web “Geodynamo” e quella dedicata ai “Magnetic Flip-Flops” .

Esercizi

• Che cos’è e come funziona un magnetometro? Scrivere una breve scheda tecnica con tutte le caratteristiche di questa tipologie di strumento di misura.
• A questo indirizzo trovate la pagina della missione dell’Esa “Swarm” che lancerà ben tre satelliti in orbita per misurare il campo magnetico del nostro pianeta. Il materiale è tutto in inglese: realizzate un breve articolo scientifico sull’argomento per il giornalino scolastico.

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