Dimostrare “a occhio”
Ecco un argomento che mostra la bellezza della matematica. Basta uno sguardo per rendersene conto: mi riferisco alle cosiddette dimostrazioni senza parole.
Si tratta di dimostrazioni grafiche di proprietà geometriche o di teoria dei numeri, che rendono comprensibili i concetti senza utilizzare ragionamenti verbali, come potete vedere dall’immagine precedente, tratta dall’ipertesto on line “Matematica visuale” (tesi di Laurea, prof. Laura Citrini, Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione, Università di Crema).
Sempre dallo stesso ipertesto è possibile ammirare e portare in classe agli studenti alcune dimostrazioni di formule goniometriche e teoremi trigonometrici, come ulteriore complemento dopo aver affrontato le dimostrazioni canoniche riportate nei libri di testo. Le dimostrazioni sono animate e sono visibili con Flash Player (gratuito e facilmente scaricabile). Si possono utilizzare direttamente in classe perché la dimostrazione è guidata passo per passo.
1) Il coseno della differenza di due angoli
2) Il seno della somma di due angoli
3) Il teorema del coseno
Il teorema del coseno ha anche una dimostrazione grafica “statica” nella figura riportata nell’articolo del blog di Gianluigi Filippelli, insieme ad altre due immagini che sfruttano il teorema di Tolomeo.
Un altro argomento fertile per questo tipo di operazione didattica è il teorema di Pitagora. Joran Friberg, dell’Università di Goteborg in Svezia, ha ideato una dimostrazione in GeoGebra: i quadrati costruiti sui cateti vengono divisi in triangoli e trapezi dai colori diversi e poi fatti muovere fino a riempire il quadrato grigio (inizialmente vuoto) costruito sull’ipotenusa. Propongo questa prima modalità di utilizzo a scuola, che riporta a un’espressione finale di tipo verbale: proiettare in classe l’animazione e poi chiedere agli studenti di spiegarla, di trovare gli elementi chiave della dimostrazione. Per esempio, in questo caso, il triangolo verde è costruito in modo tale che sia uguale al triangolo ABC e il triangolo giallo è anch’esso rettangolo e ha un cateto uguale al triangolo di partenza ABC…
Per quanto riguarda il teorema di Pitagora, le dimostrazioni sono tantissime, consiglio la pagina web Matematica – Dimostrazioni a vista o con semplici tecniche grafiche di Maddalena Falanga e Luciano Battaia, che contiene anche alcune vie grafiche ai teoremi di analisi di quinta liceo, come il Teorema di Lagrange o la regola di derivazione della funzione inversa. Non fa mai male rivedere da un altro punto di vista questi argomenti fondamentali.
Nel forum del famoso sito “Base5” ho trovato un commento che segnala un articolo di Claudio Bernardi pubblicato a marzo 2012 sul notiziario dell’Umi (Unione Matematica Italiana) e che riporta varie dimostrazioni senza parole. Potete ammirare questa immagine animata (che ho preso dal forum) che ricava i coefficienti del triangolo di Tartaglia con i quadrati!
Per quanto riguarda i prodotti notevoli (ma non solo) c’è il meraviglioso materiale originale di Roberto Zanasi, raccolto nel suo blog “Gli studenti di oggi”. In uno dei suoi post, l’autore riporta, oltre alla classica dimostrazione bidimensionale della formula del quadrato di un binomio, una realizzazione tridimensionale (in legno) della dimostrazione della formula del cubo di un binomio! Consiglio anche l’approssimazione di pi greco senza parole.
Esercizi
- Per gli esercizi consiglio le schede del percorso didattico ideato da Domingo Paola del liceo Issel di Finale Ligure Borgo (è uno degli autori insieme a Paolo Fasce del libro “Pensieri sottobanco. La scuola raccontata alla mia gatta” che avevo recensito anch’io). Paola propone alcune dimostrazioni tratte da testo di Roger B. Nelsen, “Proof without words”, pubblicato da The Mathematical Association of America. Ecco un brano tratto dalla presentazione del lavoro:
«Si è sperimentato l’uso delle “dimostrazioni senza parole” in due modi:
- presentando agli alunni delle schede, che non contengono la relazione o la formula da dimostrare, ma che guidano alla scoperta di tale risultato;
- sottoponendo agli alunni una sorta di “rebus”, cioè presentando la relazione da dimostrare, alcune figure tra loro collegate e qualche piccolo suggerimento.
La ricerca della dimostrazione proposta dalle schede può essere condotta individualmente, in gruppi di 2 o 3 persone o mediante una discussione collettiva. La prima fase del lavoro consiste prima nell’intuire e poi nel costruire le dimostrazioni richieste; la seconda fase nell’esposizione, orale o scritta, in linguaggio rigoroso, dei procedimenti dimostrativi individuati.
Gli alunni sono poi invitati ad estendere alcune proprietà ad altri casi, utilizzando metodi dimostrativi analoghi.
La discussione in classe sul lavoro svolto dagli alunni e sui risultati ottenuti è infine preziosa occasione di precisazioni e approfondimenti sia sui contenuti del lavoro stesso che sulle procedure utilizzate».
Le schede contengono esercizi di carattere algebrico e sono complete dal punto di vista dell’utilizzo immediato con gli studenti: ogni modulo contiene tutte le fasi del lavoro da svolgere in classe, passo per passo. - Vi consiglio infine un altro esercizio trovato in rete: «in un triangolo rettangolo la mediana relativa all’ipotenusa è congruente a metà ipotenusa» (qui una dimostrazione grafica del teorema).
