Linee di scienza

«Questa parte di matematica è uno dei capitoli storicamente più affascinante» scrive il professor Giovanni Vaccaro nel suo libro intitolato Sussidiario di matematica. Gioco di strutture su micro-ambiente: le coniche (scaricabile in pdf. dal sito del mio liceo). Le coniche costituiscono infatti un argomento che ha occupato le menti dei matematici greci e in seguito quelle dei matematici del ‘600 e del ‘700, che coinvolge molteplici strutture: algebra, geometria euclidea, goniometria, geometria analitica con le trasformazioni del piano in sé, algebra lineare (le matrici) e analisi. Un’ottima opportunità quindi per far cogliere allo studente l’unità del sapere matematico.

Vi propongo una programmazione didattica dell’argomento (limitata al caso dell’ellisse ed espandibile a tutte le coniche) tratta dal testo di Vaccaro, un lavoro che merita una lettura attenta per coglierne a pieno la ricchezza: grazie alla contestualizzazione storica e argomentativa, ogni procedura operativa diviene più chiara e meno astratta.

Prima definizione di Ellisse secondo i canoni di Apollonio

(pag. 11-13)

Per quanto riguarda per esempio dell’ellisse, Vaccaro parte con l’analisi stereometrica della sezione conica ottenuta sezionando un cono indefinito a due falde (oppure usando una sfera e un piano ad essa tangente, come si vede a pag. 44) e trova la relazione di Apollonio che afferma: “assegnato un segmento di misura l trovare il rettangolo che diminuito di un quadrato sia equivalente ad un secondo quadrato”. «Da questa affermazione scaturisce il nome attribuito a questa sezione conica Ellisse, che in greco significa mancante: cioè il quadrato è equivalente al rettangolo di lato assegnato l mancante di un quadrato. Questa parola era già nota ai matematici greci che l’avevano usata in un altro contesto nella risoluzione geometrica di equazioni di secondo grado: x^2 + b^2 = ax».
Dopodiché si ricava la nota equazione dell’ellisse con la simbologia dell’algebra moderna, semplicemente con un opportuno cambio di parametri e incognite (rimando ai pochi passaggi di pag. 13, che potete anche vedere nell’immagine seguente).

Seconda definizione di Ellisse come luogo geometrico: somma di distanze

(pag. 13-15)

Dalla definizione di Apollonio si dimostra come essa porti al luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi.

Anche in questo caso si ricava l’equazione dell’ellisse che risulta formalmente uguale a quella trovata precedentemente per altra via con l’aggiunta della condizione che lega i parametri a, b e c: (le note “condizioni dell’ellisse”).

Terza definizione di Ellisse come luogo geometrico: rapporto di distanze

(pag. 15-19)

«Si chiama Ellisse il luogo geometrico dei punti del piano π per i quali risulti costante ( e ) il rapporto delle distanze da un punto fisso ( F ) e da una retta fissa ( d )».
Si ottiene la stessa equazione trovata con gli altri metodi geometrici. Si passa inoltre a determinare il significato geometrico di e, (l’eccentricità dell’ellisse).

Conclusioni

La presentazione stereometrica dell’argomento Coniche fa emergere le proprietà dei punti della sezione conica da considerazioni di tipo geometrico: «infatti attraverso una serie di assiomi, di teoremi, di corollari e di definizioni ora di geometria piana ora di geometria solida […]» si individuano e dimostrano «relazioni fra segmenti opportuni che determinano univocamente le proprietà di detti punti». Inoltre «la trasformazione delle relazioni geometriche nel linguaggio moderno di tipo algebrico con relativo bagaglio operativo è servito semplicemente a rendere più snello il calcolo e più chiari e semplici i risultati raggiunti. Tale trasformazione ha permesso di formalizzare in termini di equazioni o identità dette relazioni geometriche e di constatare che tutte e tre ricerche conducono allo stesso risultato».

Ma non è affatto finita qui: il testo di Vaccaro ha ben 312 pagine, e costituisce una vera e propria summa sull’argomento, con lo scopo di arricchire la didattica con approfondimenti ed esercizi.

Il capitolo primo si conclude con le seguenti considerazioni: «il problema che si pone ora è “ Una equazione algebrica di secondo grado a due variabili in generale definisce una sezione conica, visto che algoritmi algebrici permettono di trasformarla in una delle tre forme scritte sopra ? “ La risposta a questo problema sarà oggetto del secondo capitolo con l’introduzione della Geometria analitica , dovuta al matematico e filosofo René Descartes ( Cartesio 1596 – 1650 ) col contributo di Pierre De Fermat, François Viète e di altri insigni matematici».

Come si può vedere, l’impostazione dell’argomento è veramente più completa e organica di quella “solita” che al confronto risulta astorica e priva del contesto matematico unitario nella quale invece è inserita.

Si può integrare la propria lezione anche con la lettura tratta da “Storia della matematica” di C.H.Boyer (pagina 48 nell’Appendice 2), che a proposito dell’ellisse riporta: «La prima scoperta dell’ellisse sembra essere stata fatta da Menecno come risultato collaterale di una indagine nella quale erano la parabola e l’iperbole che offrivano le proprietà richieste dalla soluzione del problema di Delo: la duplicazione del cubo. Partendo da un cono circolare retto e con angolo al vertice di 90°, Menecno trovò che, allorché il cono viene tagliato da un piano perpendicolare ad una generatrice, la curva intersezione è tale che, in termini di moderna geometria analitica, la sua equazione può venire scritta nella forma y2 = lx , dove l è una costante dipendente dalla distanza del piano di intersezione dal vertice. Non sappiamo in che modo Menecno abbia derivato questa proprietà, ma essa dipende soltanto da teoremi di geometria elementare».

A pag. 75 trovate inoltre il metodo per costruire le coniche con riga e compasso e a pag. 79 il tracciamento meccanico.

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Ecco un argomento che mostra la bellezza della matematica. Basta uno sguardo per rendersene conto: mi riferisco alle cosiddette dimostrazioni senza parole.

Si tratta di dimostrazioni grafiche di proprietà geometriche o di teoria dei numeri, che rendono comprensibili i concetti senza utilizzare ragionamenti verbali, come potete vedere dall’immagine precedente, tratta dall’ipertesto on line “Matematica visuale” (tesi di Laurea, prof. Laura Citrini, Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione, Università di Crema).
Sempre dallo stesso ipertesto è possibile ammirare e portare in classe agli studenti alcune dimostrazioni di formule goniometriche e teoremi trigonometrici, come ulteriore complemento dopo aver affrontato le dimostrazioni canoniche riportate nei libri di testo. Le dimostrazioni sono animate e sono visibili con Flash Player (gratuito e facilmente scaricabile). Si possono utilizzare direttamente in classe perché la dimostrazione è guidata passo per passo.
1) Il coseno della differenza di due angoli
2) Il seno della somma di due angoli
3) Il teorema del coseno

Il teorema del coseno ha anche una dimostrazione grafica “statica” nella figura riportata nell’articolo del blog di Gianluigi Filippelli, insieme ad altre due immagini che sfruttano il teorema di Tolomeo.

Un altro argomento fertile per questo tipo di operazione didattica è il teorema di Pitagora. Joran Friberg, dell’Università di Goteborg in Svezia, ha ideato una dimostrazione in GeoGebra: i quadrati costruiti sui cateti vengono divisi in triangoli e trapezi dai colori diversi e poi fatti muovere fino a riempire il quadrato grigio (inizialmente vuoto) costruito sull’ipotenusa. Propongo questa prima modalità di utilizzo a scuola, che riporta a un’espressione finale di tipo verbale: proiettare in classe l’animazione e poi chiedere agli studenti di spiegarla, di trovare gli elementi chiave della dimostrazione. Per esempio, in questo caso, il triangolo verde è costruito in modo tale che sia uguale al triangolo ABC e il triangolo giallo è anch’esso rettangolo e ha un cateto uguale al triangolo di partenza ABC…
Per quanto riguarda il teorema di Pitagora, le dimostrazioni sono tantissime, consiglio la pagina web Matematica – Dimostrazioni a vista o con semplici tecniche grafiche di Maddalena Falanga e Luciano Battaia, che contiene anche alcune vie grafiche ai teoremi di analisi di quinta liceo, come il Teorema di Lagrange o la regola di derivazione della funzione inversa. Non fa mai male rivedere da un altro punto di vista questi argomenti fondamentali.

Nel forum del famoso sito “Base5” ho trovato un commento che segnala un articolo di Claudio Bernardi pubblicato a marzo 2012 sul notiziario dell’Umi (Unione Matematica Italiana) e che riporta varie dimostrazioni senza parole. Potete ammirare questa immagine animata (che ho preso dal forum) che ricava i coefficienti del triangolo di Tartaglia con i quadrati!

Per quanto riguarda i prodotti notevoli (ma non solo) c’è il meraviglioso materiale originale di Roberto Zanasi, raccolto nel suo blog “Gli studenti di oggi”. In uno dei suoi post, l’autore riporta, oltre alla classica dimostrazione bidimensionale della formula del quadrato di un binomio, una realizzazione tridimensionale (in legno) della dimostrazione della formula del cubo di un binomio! Consiglio anche l’approssimazione di pi greco senza parole.

Esercizi

• Per gli esercizi consiglio le schede del percorso didattico ideato da Domingo Paola del liceo Issel di Finale Ligure Borgo (è uno degli autori insieme a Paolo Fasce del libro “Pensieri sottobanco. La scuola raccontata alla mia gatta” che avevo recensito anch’io). Paola propone alcune dimostrazioni tratte da testo di Roger B. Nelsen, “Proof without words”, pubblicato da The Mathematical Association of America. Ecco un brano tratto dalla presentazione del lavoro:
  «Si è sperimentato l’uso delle “dimostrazioni senza parole” in due modi:
  - presentando agli alunni delle schede, che non contengono la relazione o la formula da dimostrare, ma che guidano alla scoperta di tale risultato;
  - sottoponendo agli alunni una sorta di “rebus”, cioè presentando la relazione da dimostrare, alcune figure tra loro collegate e qualche piccolo suggerimento.
  La ricerca della dimostrazione proposta dalle schede può essere condotta individualmente, in gruppi di 2 o 3 persone o mediante una discussione collettiva. La prima fase del lavoro consiste prima nell’intuire e poi nel costruire le dimostrazioni richieste; la seconda fase nell’esposizione, orale o scritta, in linguaggio rigoroso, dei procedimenti dimostrativi individuati.
  Gli alunni sono poi invitati ad estendere alcune proprietà ad altri casi, utilizzando metodi dimostrativi analoghi.
  La discussione in classe sul lavoro svolto dagli alunni e sui risultati ottenuti è infine preziosa occasione di precisazioni e approfondimenti sia sui contenuti del lavoro stesso che sulle procedure utilizzate».
  Le schede contengono esercizi di carattere algebrico e sono complete dal punto di vista dell’utilizzo immediato con gli studenti: ogni modulo contiene tutte le fasi del lavoro da svolgere in classe, passo per passo.
• Vi consiglio infine un altro esercizio trovato in rete: «in un triangolo rettangolo la mediana relativa all’ipotenusa è congruente a metà ipotenusa» (qui una dimostrazione grafica del teorema).

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Ogni anno quando spiego il Sistema Internazionale di misura c’è qualche novità.

L’ultima notizia è uscita su Le Scienze l’11 di questo mese: un nuovo orologio atomico potrebbe portare a “a una nuova definizione del chilogrammo”! Quando l’ho detto in classe gli studenti hanno sbarrato gli occhi abbastanza increduli e io ho promesso loro di cercare di capirne qualcosa e di preparare una lezione sullo stato dell’arte (aggiornato) delle definizioni delle unità di misura fondamentali. Ecco che cosa ho prodotto:  

Il Sistema Internazionale di misura (S.I.), introdotto a Parigi nel 1960, trae le sue origini dal sistema metrico-decimale, fondato nel 1795 sempre in Francia dall’Accademia delle Scienze che ebbe l’incarico di definire delle unità di misura standard per la lunghezza e la massa. Fino al ‘700 infatti in Europa, ogni regione si era dotata di una propria unità di misura, inconveniente che creava difficoltà soprattutto per gli scambi commerciali. L’Italia non faceva eccezione: ho parlato per esempio delle unità di misura dei Gonzaga a Mantova in questo post.  

Nel Sistema Internazionale sono state fissate sette grandezze fisiche fondamentali con le relative unità di misura. Vale la pena soffermarsi sulle prime tre: la lunghezza, la massa e il tempo (anche se per quanto riguarda le unità di misura di intensità di corrente, temperatura e mole, i ricercatori stanno lavorando a una loro ridefinizione che si riferisca a costanti fondamentali della Fisica, come si può leggere in questo post).

Lunghezza

La definizione dell’unità di misura della lunghezza come “metro” risale al 1799 e fu inventata ad hoc, come la 40 milionesima parte del meridiano terrestre (“metron” significa “misura”). Gli esploratori Jean-Baptiste Joseph Delambre e Pierre Méchain misurarono l’arco del meridiano di Parigi che collega l’equatore con il Polo Nord (un quarto cioè del meridiano), in modo tale che risultasse 10 milioni di metri: moltiplicato per quattro dava la lunghezza di tutto il meridiano. Questa definizione che si rifaceva alle caratteristiche del nostro pianeta ed era molto difficile da riprodurre è stata sostituita nel 1889 con la lunghezza di un campione di misura di platino-iridio conservato a Sèvres, presso Parigi.

Nel 1960 i ricercatori idearono una definizione di metro che si rifaceva a un fenomeno atomico riproducibile con accuratezza e precisione in laboratorio e in particolare a un multiplo della lunghezza d’onda emessa nel vuoto dall’atomo di kripton-86 quando passava da un particolare livello atomico a un altro (dal 2p10 al 5d5). Il metro risultava così essere 1 650 763,73 volte la lunghezza d’onda della radiazione emessa dal kripton.

Dopo l’invenzione del laser questa definizione è stata sostituita dall’attuale definizione che risulta più agevole perché si riconduce alla velocità della luce nel vuoto, che è costante. Come tutti i libri di testo riportano, il metro è stato ridefinito nel 1984 come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in 1/299 792 458 di secondo (essendo la velocità della luce nel vuoto circa 300 000 000 metri al secondo).

Per quanto riguarda l’unità di misura della lunghezza quindi possiamo concludere che “meglio di così non si può”: il metro è definito in maniera oggettiva (in quanto rimanda a una delle costanti fondamentali della natura come la velocità della luce nel vuoto c) e riproducibile abbastanza facilmente in laboratorio. I metrologi possono ritenersi soddisfatti e si augurano che questo possa succedere anche per le rimanenti unità di misura del S.I. Perché infatti non è ancora così.

Tempo

L’unità di misura del tempo è il secondo, inizialmente definito come la 86 400-esima parte del giorno solare medio (in un giorno ci sono 24 ore, in un’ora 60 minuti e in un minuto 60 secondi, quindi un giorno equivale a 24×60x60 = 86 400 secondi). Come la prima definizione di metro, anche quella di secondo era troppo vaga perché si affidava a un fenomeno riferito alle caratteristiche medie del nostro pianeta. Dalla definizione “astronomica” nel 1967 si è passati a quella “atomica”: un secondo è l’intervallo di tempo nel quale la radiazione emessa dall’isotopo 133 dell’atomo di cesio compie circa 9 miliardi di oscillazioni. Il secondo è l’unità di misura definita con maggiore accuratezza, dell’ordine di 10^(-14) – 10^(-15).  Gli orologi atomici sbagliano di un secondo ogni 30 milioni di anni.

La misura del tempo pone altri problemi, come gli effetti di ritardo sugli orologi atomici dovuti alla rotazione terrestre (si legga il seguente post).

Massa

Il chilogrammo, l’unità di misura della massa, inizialmente era definito come la massa di un litro di acqua distillata alla temperatura di 4 °C (perché l’acqua distillata si trova facilmente e a quella temperatura le sue condizioni sono molto stabili). Anche del kg, come per il metro, è stato realizzato un campione di platino-iridio conservato sotto vuoto spinto al Museo dei Pesi e delle Misure di Sèvres. Lo potete ammirare nella seguente immagine: è un cilindretto di diametro e altezza di 39 millimetri.

Dal 1901, la definizione del kg si basa dunque soltanto sul prototipo conservato a Sèvres. Questo fatto lascia insoddisfatti gli scienziati soprattutto per due motivi: il primo perché è una definizione che deve ricorrere a un manufatto umano e non a una costante fondamentale della natura e secondo perché ci si è accorti che purtroppo il campione di platino-iridio, nonostante tutte le precauzioni prese, si è deteriorato! Nell’ultimo secolo infatti, il kg è diminuito di quasi 50 microgrammi…

In classe porto sempre un po’ di articoli di giornale per supportare la notizia che il chilogrammo sia “dimagrito”. Quest’anno, grazie ai tablet, un mio studente ha velocemente fotografato quello del 2005, che così posso inserire qui di seguito (per vederlo meglio basta cliccare sull’immagine e salvarla):

Come si legge su wikipedia «È in corso uno sforzo per introdurre una nuova definizione di chilogrammo, per mezzo di costanti fondamentali o atomiche. Ciò allo scopo di renderla maggiormente precisa e realizzabile in ogni laboratorio specializzato». Vi sono svariate linee di ricerca in questa direzione: si cerca di riportare la definizione alla costante di Avogadro oppure a quella di Planck. La notizia di questo mese invece è che «L’unità di misura della massa potrebbe venire ricondotta a quella del tempo grazie a un nuovo orologio che è in grado di misurare la frequenza della cosiddetta “onda di materia” che può essere associata a ogni particella o atomo in virtù dell’equivalenza stabilita da Einstein fra massa ed energia» come riporta il seguente articolo su Le Scienze. Il gruppo di ricerca coordinato da Holger Müller dell’Università della California di Berkeley ha realizzato un orologio in grado di misurare la frequenza Compton di un atomo (per l’ipotesi di De Broglie ogni corpo dotato di massa può essere considerato anche come un’ onda di materia con una determinata frequenza). Questa frequenza è 10 miliardi di volte superiore a quella della luce e fino a ora era considerata impossibile da misurare; il gruppo di Berkeley ha sfruttato la  dilatazione relativistica del tempo che prevede che il tempo rallenti per un corpo accelerato a velocità prossime di quelle della luce e con un interferometro ha misurato questa differenza temporale in termini di frequenza di oscillazione della luce emessa dal cesio. Oltre alla definizione del secondo con una precisione di 7 parti per miliardo, si potrà quindi definire la massa grazie alla formula di Einstein (E = m c^2) combinata con quella di De Broglie (E = h f), m = h f / c^2. 

Esercizi

• Si consideri la formula che serve per ricondurre la massa alla frequenza di Compton f (citata alla fine del post) e si ricavino le unità di misura della costante di Planck h.
• Esegui le seguenti equivalenze fra unità di misura “non standard” riportandole al Sistema Intenazionale:  3 pinte = … m^3 ; 18 carati = …. kg; 7 miglia = …m.
• Gli orologi atomici: in che cosa consistono? Quando e dove è stato costruito il primo dispositivo?
• Dopo aver letto la pagina dedicata alle Unità anglosassoni (nel sito http://www.science.unitn.it/~labdid/sisint/si.html) compi una breve ricerca in rete ed spiega in che cosa consiste la cosiddetta “questione anglosassone”
• Quali sono le prove sperimentali del rallentamento del tempo per oggetti prossimi alla velocità della luce c?
• In Italia sono conservate ben quattro copie del campione del chilogrammo di Sèvres. Scoprite dove sono!

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Quando spiego un argomento in classe vorrei sempre avere del materiale pronto sulla ricaduta tecnologica oppure sullo stato attuale della ricerca scientifica in quel campo. Per esempio, per quanto riguarda il campo gravitazionale (e anche le onde) ho pensato di preparare una specie di “scheda” che approfondisca l’esperimenti Auriga di Legnaro in provincia di Padova.

Auriga ha lo scopo di rivelare le onde gravitazionali provenienti da sorgenti dell’universo e in particolare dal cosiddetto gruppo locale, come supernovae, stelle binarie, pulsar instabili e centri galattici attivi. Il rivelatore è costituito da una barra cilindrica lunga 3 metri in lega di alluminio, di 2,3 tonnellate, raffreddata a temperature “ultracriogeniche” e cioè bassissime (di soli 0,2 K) in grado di oscillare in modo tale da fungere da “antenna”. Se un’onda gravitazionale lo colpisce, il cilindro inizia a vibrare alla propria frequenza di risonanza che è di 1 kHz. Si tratta di una frequenza che il nostro orecchio può udire come un vero e proprio suono. Le onde gravitazionali sono però debolissime, nel senso che «se esplodesse una supernova nella nostra galassia, il cilindro sarebbe messo in vibrazione con un’ampiezza dell’ordine di un miliardesimo di miliardesimo di metro» (come si legge nell’articolo di Eugenio Coccia su “Asimmetrie”). Quindi per aumentare la sensibilità dello strumento è necessario isolarlo dal rumore esterno (come le vibrazioni sismiche e acustiche) e anche da quello prodotto dalla propria struttura atomica, il cosiddetto “rumore di fondo”, abbassandone la temperatura, visto che la temperatura è l’indice macroscopico del “rumore” microscopico dovuto all’energia cinetica media degli atomi. La piccolissima vibrazione della barra cilindrica viene convertita da un trasduttore capacitivo in un segnale elettrico, che è a sua volta misurato da un sensibilissimo dispositivo superconduttore a interferenza quantistica (Squid).

Onde gravitazionali

«La teoria della relatività generale di Einstein prevede l’esistenza di “onde gravitazionali”, ossia di campi gravitazionali che, come i campi elettromagnetici, si propagano nello spazio vuoto alla velocità della luce. Le onde gravitazionali provengono dalle regioni più interne di stelle e galassie e possono portare informazioni nuove sul comportamento della materia in tali regioni, finora insondate. Nel nostro universo, le sorgenti di onde gravitazionali più intense sono legate a fenomeni catastrofici, che emettono un’enorme quantità di energia: esplosioni di stelle che portano alle supernove, i nuclei galattici attivi, l’urto e fusione di due stelle di grande massa, le interazioni di buchi neri con la materia che vi cade dentro». (dall’articolo “Fisica sub-nucleare senza macchine acceleratrici a Legnaro”)
Può essere utile ascoltare il documentario della Rai Educational e i video di LinxMagazine con l’intervista a Carlo Bradaschia dell’Infn.
 

Le “news”

Ultimamente i giornali hanno parlato di Auriga (LaRepubblica 18/12/12, Scienza in rete 24/12/12) per indagare la natura dello spazio-tempo alle dimensioni della “lunghezza di Planck” (10-35 m) perché «la barra di Auriga è […] il sistema fisico ‘meglio localizzato’ che si sia mai realizzato». Insomma, Auriga è «l’oggetto più immobile del mondo» e grazie a questo “isolamento” potrebbe riuscire a captare la fisica delle “infime” dimensioni!
 

 Esercizi

• A partire da questo link a una pagina web dell’Infn, leggere le informazioni sugli esperimenti Explorer e Nautilus e realizzare due schede esplicative (tutto in lingua inglese).
• Un altro metodo per rivelare le onde gravitazionali è quello che utilizza interferometri (come negli esperimenti Virgo o Ligo). Preparare una breve relazione orale con la descrizione di un interferometro insieme alla su storia: da chi fu inventato? In quali esperimenti fondamentali è stato utilizzato? Sarebbe bello costruirne uno a scuola, come hanno fatto nel 2005 gli studenti del Liceo “Ulisse Dini” di Pisa (è tutto raccontato in un power point on line).

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L’idea di parlare di matematica e memoria mi è venuta leggendo il breve ma utile testo del prof. Luigi La Gatta intitolato “Come studiare la matematica” e scaricabile direttamente a questo indirizzo. Sono solo cinque pagine, ma i consigli sono appropriati, vale la pena riportare il brano che ha come sottotitolo “L’importanza della memorizzazione”:

«Ci sono due tipi di memoria: la memoria concettuale, basata sulla comprensione ed interpretazione del testo studiato e la memoria ripetitiva, legata alla ripetizione meccanica di dati. Si possono suggerire all’alunno alcune mnemotecniche tenendo presente che ogni individuo può attivare uno dei seguenti tipi di memoria:
* visiva (tende a collegare i concetti alle immagini)
* uditiva (tende a ricordare parole e frasi ripetendole ad alta voce)
* motoria (tende a ricordare le informazioni collegandole ad azioni e movimenti compiuti)
Mnemotecnica dei loci: l’alunno può collegare i concetti ad un percorso a lui familiare. Se per andare a scuola con l’autobus fa tre fermate, ad ogni fermata può collegare un concetto in ordine logico. Difficilmente dimenticherà la successione dei concetti.
Mnemotecnica filmica: consiste in un libero gioco della fantasia perché l’alunno può arrivare a creare dei veri film, in cui ogni sequenza corrisponde al concetto da memorizzare».

(nell’immagine l’incisione “Promemoria -Pro/Memoria” di Antonio Papasso)

Esempi
Ma che cosa vale la pena di memorizzare in matematica? Sempre dal testo di La Gatta si trovano un “memorizzare le definizioni” e “memorizzare/applicare concetti e metodi”.
Per quanto riguarda la mia esperienza ho notato che sono soprattutto le formule ad aver bisogno di qualche aiuto per essere ricordate. Ecco alcuni esempi:

• le formule di addizione e sottrazione di seno e coseno cos (a+b) = (cos a cos b) – (sin a sin b) e sin (a+b) = (sin a cos b) + (cos a sin b) . Premesso che a lezione si ricavano con dimostrazione e quindi risultano giustificate, va detto anche che lo studente non può tutte le volte ricavarsele dall’inizio e che dunque deve in qualche modo ricordarsele. Io ho trovato questa osservazione: il coseno sia della somma sia della differenza ha come risultato le stesse funzioni goniometriche (“coseno coseno” e “seno seno”) e allora, se le lascia uguali, deve cambiare il segno fra di loro (quindi se si ha la somma degli angoli, si dovrà sottrarre il prodotto delle due funzioni). Invece la formula del seno della somma e differenza fra due angoli scambia fra loro seno e coseno (abbiamo infatti “seno coseno” e coseno seno”) e allora, visto che già cambia le funzioni, manterrà lo stesso segno fra di loro (quindi a somma di angoli corrisponde somma del prodotto delle due funzioni e a differenza la differenza). Insomma si lasciano i + e i meno così come sono se si scambiano seno e coseno e invece si cambiano i segni se si lasciano le stesse funzioni.
• I teoremi dei triangoli rettangoli coinvolgono gli angoli adiacenti ai cateti solo per le co-funzioni (quindi nel primo teorema avrò il coseno dell’angolo acuto adiacente al cateto e nel secondo teorema la cotangente; mentre per gli angoli opposti al cateto considerato avrò seno e tangente)
• La formula della derivata di una funzione fratta (N/D) per me è stato sempre un problema: addirittura durante lo scritto di un esame all’università avevo chiesto all’assistente se era la derivata del numeratore per il denominatore meno il numeratore per la derivata del denominatore o viceversa e lui mi aveva risposto che queste cose le dovevo sapere io!!!! Finalmente una mia studentessa di quinta mi ha suggerito un metodo di “simmetria visiva”, visto che prima viene il numeratore N e dopo il denominatore D, il numeratore della formula della derivata sarà N’ D – N D’ con le derivate N’ e D’ agli estremi. Il denominatore della formula invece è semplice perché è sempre il D alla seconda.
• Agli studenti che non si ricordano la seconda legge della dinamica F = ma dico di pensare a me: F(rancesca) = Ma (gni)
• La prima legge di Ohm è in “Vir” latino V = R i (lo sapevo che finivo per parlare anche di fisica…)
• Per ricordarsi la formula del volume della sfera c’è la filastrocca con rima “il volume della sfera qual è? Quattro terzi pi-greco erre tre”. In questa pagina web potete trovare molti altri trucchi mnemonici del genere (anche nelle altre lingue e per altre materie) così come in questa pagine di wikiquote dedicata alle mnemotecniche.

Dopo i pro, i contro

Tutto qui? Forse sì. Le voci critiche sulla pura memorizzazione in matematica sono tante, visto che la matematica è la disciplina del ragionamento e che non c’è peggior cosa che imparare a memoria una dimostrazione… Personalmente sono contraria alla memorizzazione dei valori di seno e coseno degli angoli noti (30, 60 gradi…) perché si ha sempre il 50% di probabilità di sbagliare: basta visualizzare il triangolo rettangolo (che è metà di un triangolo equilatero) e capire quale cateto è “metà della base” e quale “altezza” del triangolo equilatero. No, per lo stesso motivo, a imparare a memoria il fattore di moltiplicazione per passare dai km/h ai m/s e viceversa, visto che basta fare la trasformazione sia a numeratore si a denominatore… E no anche alla troppa velocità durante le interrogazioni perché si dà l’impressione di aver studiato solo a memoria, mentre il più delle volte succede che lo studente è talmente preparato, ha talmente ripetuto a casa l’argomento che, sebbene lo abbia studiato capendolo, lo ha praticamente mandato a memoria! Ed è più facile ripetere a macchinetta un argomento ben noto che doverlo esporre con calma, giustificando ogni passaggio volta per volta.
In questa pagina web intitolata “Mnemotecniche: Servono in Matematica? ” si legge:
«In questo modo, può accadere che, invece di semplificare il compito, ci si complichi la vita, “raddoppiando il carico” da memorizzare: non solo tocca ricordare la formula, ma anche la “formula per ricordare la formula”. E così via all’infinito, triplicando, quadruplicando un carico già molto consistente. Dunque: quanto servono la memoria e le mnemotecniche per le formule di chimica, fisica, matematica?
Quello delle formule matematiche è un esempio in cui si rischia di sperimentare una sorta di “effetto paradosso” delle mnemotecniche, e cioè di dimenticare più facilmente, invece che memorizzare più velocemente.
E’ un esempio il cui le tecniche di memoria rischiano di distogliere l’attenzione dalla formula e di concentrarsi sul ricordarsela più che sul capirla. In questo modo, ci si allontana dalla funzione della formula, dai dati che richiede per essere applicata, dal tipo di problema che consente di risolvere. Si pensa solo a memorizzarla, ci si appiglia alla sua forma grafica per ricordarsela, e poi a chissà cos’altro per ricordarsi come ricordarsela, col rischio di dimenticarsela completamente o di non ricordarsela quando serve.
In sintesi, a forza di cercare e di applicare tecniche per memorizzarla meccanicamente, si trascurano tutti quegli aspetti funzionali necessari per ricordarla davvero. Ci si viene ad auto-privare di quella base di comprensione profonda, partecipe, attiva che è necessaria alla formula per accedere alla “memoria a lungo termine”(cioè per ricordarsela quantomeno per l’esame e per tutti gli esami successivi del corso di studi).
Le mnemotecniche sono dunque da dosare con estrema attenzione, come quei pharmacon dell’antica Grecia, quelle sostanze che in dosi minime, o “opportune”, sono salvifiche. Ma basta una dose in più, e diventano letali: da qui la doppia traduzione di pharmacon sia come “medicina” che come “veleno”. Allo stesso modo, le mnemotecniche possono anche diventare “oblio-tecniche”, producendo un effetto paradossale di far dimenticare più che far memorizzare.
Fossilizzandosi solo sull’operazione del memorizzare, si disperdono le energie per studiare, poiché si svolge un certo tipo di operazione (più meccanica), quando invece il compito ne richiede altre (più funzionali). Rinnegando così anche una preziosa capacità che si acquisisce con lo studio di materie scientifiche: quella di formalizzare la realtà in modo elegante e pulito, senza sbavature. Non esiste solo la “memoria”. Di fronte a una formula dunque, più che cercare, a valle, la tecnica per ricordarla, è utile ripensare, a monte, al proprio essere uno studente di discipline scientifiche, uno *scienziato*. Uno scienziato non è un “ricordatore di dati”, ma un *problem-solver*».

Idee per alcuni lavori a scuola

Resta il fatto che le mnemotecniche son un argomento interessante di per sé al punto che possono essere oggetto di progetti a scuola come il seguente dell’Istituto Tecnico Industriale di Nocera Inferiore (Sa), intitolato “Smart Memory-Tecniche di Apprendimento” che ha messo on line i risultati.

Anche una tesina o un percorso per l’esame di maturità possono avere per oggetto il tema della memoria e delle mnemotecniche.

Un esercizi da fare in classe potrebbe essere proprio quello di inventare una mnemotecnica per memorizzare una formula. Oppure anche come compito a casa: imparare a memoria una poesia matematica come quella che Tartaglia spedì a Cardano.

Concludo con un caso italiano, quello di Gianluigi Nalio, che ha inventato una gara matematica unica nel suo genere, il “numeri primi day”: riconoscere con un tempo di 3 secondi un numero dispari da un possibile numero primo compreso da 2 a 1000. Nalio ha una memoria eccezionale: conosce i numeri primi fino a 9.973 e 4.200 e ha vinto il pi greco Day al Politecnico di Torino lo scorso anno perché è riuscito a digitare 1480 cifre decimali di pi greco… Ecco una sua intervista recente.

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