Linee di scienza

«Questa parte di matematica è uno dei capitoli storicamente più affascinante» scrive il professor Giovanni Vaccaro nel suo libro intitolato Sussidiario di matematica. Gioco di strutture su micro-ambiente: le coniche (scaricabile in pdf. dal sito del mio liceo). Le coniche costituiscono infatti un argomento che ha occupato le menti dei matematici greci e in seguito quelle dei matematici del ‘600 e del ‘700, che coinvolge molteplici strutture: algebra, geometria euclidea, goniometria, geometria analitica con le trasformazioni del piano in sé, algebra lineare (le matrici) e analisi. Un’ottima opportunità quindi per far cogliere allo studente l’unità del sapere matematico.

Vi propongo una programmazione didattica dell’argomento (limitata al caso dell’ellisse ed espandibile a tutte le coniche) tratta dal testo di Vaccaro, un lavoro che merita una lettura attenta per coglierne a pieno la ricchezza: grazie alla contestualizzazione storica e argomentativa, ogni procedura operativa diviene più chiara e meno astratta.

Prima definizione di Ellisse secondo i canoni di Apollonio

(pag. 11-13)

Per quanto riguarda per esempio dell’ellisse, Vaccaro parte con l’analisi stereometrica della sezione conica ottenuta sezionando un cono indefinito a due falde (oppure usando una sfera e un piano ad essa tangente, come si vede a pag. 44) e trova la relazione di Apollonio che afferma: “assegnato un segmento di misura l trovare il rettangolo che diminuito di un quadrato sia equivalente ad un secondo quadrato”. «Da questa affermazione scaturisce il nome attribuito a questa sezione conica Ellisse, che in greco significa mancante: cioè il quadrato è equivalente al rettangolo di lato assegnato l mancante di un quadrato. Questa parola era già nota ai matematici greci che l’avevano usata in un altro contesto nella risoluzione geometrica di equazioni di secondo grado: x^2 + b^2 = ax».
Dopodiché si ricava la nota equazione dell’ellisse con la simbologia dell’algebra moderna, semplicemente con un opportuno cambio di parametri e incognite (rimando ai pochi passaggi di pag. 13, che potete anche vedere nell’immagine seguente).

Seconda definizione di Ellisse come luogo geometrico: somma di distanze

(pag. 13-15)

Dalla definizione di Apollonio si dimostra come essa porti al luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi.

Anche in questo caso si ricava l’equazione dell’ellisse che risulta formalmente uguale a quella trovata precedentemente per altra via con l’aggiunta della condizione che lega i parametri a, b e c: (le note “condizioni dell’ellisse”).

Terza definizione di Ellisse come luogo geometrico: rapporto di distanze

(pag. 15-19)

«Si chiama Ellisse il luogo geometrico dei punti del piano π per i quali risulti costante ( e ) il rapporto delle distanze da un punto fisso ( F ) e da una retta fissa ( d )».
Si ottiene la stessa equazione trovata con gli altri metodi geometrici. Si passa inoltre a determinare il significato geometrico di e, (l’eccentricità dell’ellisse).

Conclusioni

La presentazione stereometrica dell’argomento Coniche fa emergere le proprietà dei punti della sezione conica da considerazioni di tipo geometrico: «infatti attraverso una serie di assiomi, di teoremi, di corollari e di definizioni ora di geometria piana ora di geometria solida […]» si individuano e dimostrano «relazioni fra segmenti opportuni che determinano univocamente le proprietà di detti punti». Inoltre «la trasformazione delle relazioni geometriche nel linguaggio moderno di tipo algebrico con relativo bagaglio operativo è servito semplicemente a rendere più snello il calcolo e più chiari e semplici i risultati raggiunti. Tale trasformazione ha permesso di formalizzare in termini di equazioni o identità dette relazioni geometriche e di constatare che tutte e tre ricerche conducono allo stesso risultato».

Ma non è affatto finita qui: il testo di Vaccaro ha ben 312 pagine, e costituisce una vera e propria summa sull’argomento, con lo scopo di arricchire la didattica con approfondimenti ed esercizi.

Il capitolo primo si conclude con le seguenti considerazioni: «il problema che si pone ora è “ Una equazione algebrica di secondo grado a due variabili in generale definisce una sezione conica, visto che algoritmi algebrici permettono di trasformarla in una delle tre forme scritte sopra ? “ La risposta a questo problema sarà oggetto del secondo capitolo con l’introduzione della Geometria analitica , dovuta al matematico e filosofo René Descartes ( Cartesio 1596 – 1650 ) col contributo di Pierre De Fermat, François Viète e di altri insigni matematici».

Come si può vedere, l’impostazione dell’argomento è veramente più completa e organica di quella “solita” che al confronto risulta astorica e priva del contesto matematico unitario nella quale invece è inserita.

Si può integrare la propria lezione anche con la lettura tratta da “Storia della matematica” di C.H.Boyer (pagina 48 nell’Appendice 2), che a proposito dell’ellisse riporta: «La prima scoperta dell’ellisse sembra essere stata fatta da Menecno come risultato collaterale di una indagine nella quale erano la parabola e l’iperbole che offrivano le proprietà richieste dalla soluzione del problema di Delo: la duplicazione del cubo. Partendo da un cono circolare retto e con angolo al vertice di 90°, Menecno trovò che, allorché il cono viene tagliato da un piano perpendicolare ad una generatrice, la curva intersezione è tale che, in termini di moderna geometria analitica, la sua equazione può venire scritta nella forma y2 = lx , dove l è una costante dipendente dalla distanza del piano di intersezione dal vertice. Non sappiamo in che modo Menecno abbia derivato questa proprietà, ma essa dipende soltanto da teoremi di geometria elementare».

A pag. 75 trovate inoltre il metodo per costruire le coniche con riga e compasso e a pag. 79 il tracciamento meccanico.

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Se c’è un appuntamento che non mi perdo in questo periodo è senz’altro la serie Numb3rs su Rai4, dal lunedì al venerdì.
In classe ho studenti che hanno visto già tutte le puntate e altri che invece non la conoscevano ancora: mi sono sentita di consigliarla vivamente. Prima di tutto perché è un ottimo esempio di come la narrazione sotto forma di piccolo giallo possa prestarsi ad argomenti “ostici” come quelli matematici e cioè di come l’arte del cinema (o del telefilm) sia un canale perfetto per abbracciare la scienza, senza però snaturala o renderla una caricatura di se stessa piena di luoghi comuni. Uno dei due protagonisti infatti, Charlie, è un giovane professore di matematica che aiuta il fratello Don dell’FBI a risolvere alcuni casi particolarmente difficili. Charlie utilizza le sue conoscenze e competenze di matematica e le applica volta per volta nel campo investigativo e legale. Il personaggio del matematico è costruito con fedeltà, perché è un essere umano come tutti gli altri, con una vita normale, ma che ha il dono di avere una grande passione per quello che fa. La passione infatti mi sembra essere il motore che spinge Charlie ad affrontare i problemi e a immergersi nel mondo dei numeri trovandoci sempre nuove risorse. L’aspetto “nozionistico” è molto curato, ogni frase relativa alla matematica è corretta e ha il pregio di far conoscere allo spettatore aspetti e campi della materia poco conosciuti. Per chi desidera approfondire proprio questo aspetto, consiglio il libro di Keith Devlin e Gary Lorden “Il Matematico e il Detective” (Longanesi ed. 2008). Gli autori sono rispettivamente Executive Director al Center for the Study of Language and Information della Stanford University e professore di Matematica al California Institute of Technology di Pasadena e Lorden è il principale consulente matematico della serie televisiva. I numerosi capitoli del libro affrontano argomenti che vanno dal data mining alle tecniche di ricostruzione delle immagini, dall’inferenza bayesiana al test del Dna o delle impronte digitali e alla tecnica delle ondine per codificarle, fino alla Matematica delle reti per combattere il terrorismo internazionale. A proposito di terrorismo, Lorden afferma di essere stato più volte chiamato a lavorare, in veste di matematico, per i servizi segreti e ci assicura che le tecniche usate stanno contribuendo attivamente contro la lotta al terrorismo, anche se per ovvi motivi di segretezza, non si è potuto dilungare sull’argomento.

Ho solo forse una perplessità sul telefilm e cioè che Charlie, a quanto mi risulta, riesca sempre a risolvere i casi con grande soddisfazione di tutti. Insomma, è vero che a volte fallisce, ma poi riesce a correggersi e così il “lieto fine” è assicurato. Saranno forse esigenze drammaturgiche, però credo che l’applicazione della matematica nel mondo reale non sia sempre così vincente e soprattutto veloce, infatti Charlie realizza algoritmi in meno di una notte e crea statistiche da insiemi enormi di dati con il solo aiuto di un paio di amici…
Tornando al libro, nell’introduzione gli autori, a proposito di chi obietta che non si può usare la matematica per combattere il crimine, puntualizzano che “si può usare la Matematica per risolvere i delitti e le forze di polizia lo fanno davvero, ovviamente non in tutti i casi, ma abbastanza spesso da fare della Matematica un’arma potente nella lotta senza fine contro la criminalità”.  A scuola abbiamo sempre bisogno di trovare esempi di casi reali ai quali applicare le teorie matematiche che studiamo, quindi un telefilm e un libro di questo tipo rappresentano una fonte attendibile e – perché no? – anche piacevole e divertente.

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Ho saputo della grande notizia da una mia studentessa di seconda liceo scientifico. Non sto scherzando, è proprio successo così: entro in classe alla prima ora e lei “prof! Ha visto?” e aveva perfino stampato l’articolo del Corriere della Sera on line! “Wow” è stato il mio commento a caldo. Anche perché sono molto felice quando imparo qualcosa dai miei studenti (che è uno dei motivi per i quali questo lavoro mi appassiona sempre di più, perché è uno scambio continuo fra docenti e studenti, fra studenti e studenti, fra docenti e docenti ).
In questi giorni ho cercato di leggere tutto quello che ho potuto sull’argomento, anche perché la vicenda è interessante da molti punti di vista.

Quello che mi sta più a cuore in questo momento è trovare una via, una qualche strategia, per “portare i neutrini in classe”. Mi spiacerebbe che il tutto si riducesse a quattro frasi di commento scambiate in fretta alla fine dell’ora, che finiscono solo per sottolineare lo stupore o il senso di sensazionale che i media ci hanno trasmesso, senza poter integrare e arricchire la mia didattica. Perché quella che stiamo vivendo è un’ottima occasione, proprio una buona occasione, secondo me, per far toccare con mano che cos’è la fisica.
(a proposito, che cos’è??   )

Ho meditato su una serie di percorsi, di ipotesi di lavoro e mi piace l’idea di condividerle in questo spazio:

1) La vicenda

 (L’aula magna del Cern di Ginevra il giorno della presentazione ufficiale dei risultati)

Primo passo, cercare di capire che cosa è successo, magari con una serie di domande e risposte:

• Che cosa sono i neutrini?
• Che cosa hanno scoperto i ricercatori?
• E adesso?

La scoperta arriva dall’esperimento Cngs (Cern Neutrino to Gran Sasso), nel quale un fascio di neutrini viene “sparato” dal Cern di Ginevra ai Laboratori Nazionali del Gran Sasso dell’Istituto Nazionale di Fisica nucleare (Infn). L’esperimento fa parte di una collaborazione internazionale che si chiama Opera.

La breve presentazione del 23 settembre sul sito dell’Infn è a mio parere una buona sintesi

sia dell’esperimento Opera:

«L’esperimento Opera è stato inaugurato nel 2006, con l’obiettivo principale di studiare la trasformazione rara (oscillazione) dei neutrini muonici in neutrini tau. Il primo di questi eventi è stato osservato nel 2010, dimostrando la capacità unica di questo esperimento nella rilevazione del segnale sfuggente dei neutrini tau.       
Opera è stato ideato ed è condotto da un team di ricercatori provenienti da Belgio, Croazia, Francia, Germania, Israele, Italia, Giappone, Corea, Russia, Svizzera e Turchia. L’esperimento costituisce una complessa impresa scientifica realizzata grazie alla maestria di un gran numero di scienziati, ingegneri, tecnici e studenti, e con il forte impegno dei vari attori del progetto. In particolare si segnalano i Lngs / Infn, i laboratori del Cern, e il sostegno finanziario di Italia e Giappone con il contributo sostanziale di Belgio, Francia, Germania e Svizzera.»

sia della notizia:

«Il risultato di Opera è basato sull’osservazione di oltre 15000 eventi registrati dal rivelatore dei Laboratori dell’Infn e sembra indicare che i neutrini viaggino a una velocità di 20 parti per milione al di sopra della velocità della luce, il limite della velocità nel cosmo. Tenendo conto delle straordinarie conseguenze di questi dati, si rendono necessarie misure indipendenti prima di poter respingere o accettare con certezza questo risultato. Per questo motivo la collaborazione Opera ha deciso di sottoporre i risultati a un esame più ampio nella comunità. Lo studio della collaborazione è disponibile in forma di preprint su arxiv.org (http://arxiv.org/list/hep-ex/new)
- Questo risultato è una completa sorpresa -, ha detto il portavoce di Opera, il fisico italiano Antonio Ereditato dell’Università di Berna. – Dopo molti mesi di studi e di controlli incrociati, non abbiamo trovato nessun effetto dovuto alla strumentazione in grado di spiegare il risultato della misura. Continueremo i nostri studi e attendiamo misure indipendenti per valutare pienamente la natura di queste osservazioni-.  
- Quando un esperimento si imbatte in un risultato apparentemente incredibile e non riesce a individuare un errore sistematico che abbia prodotto quella misura la procedura standard è sottoporlo a una più ampia indagine. Esattamente ciò che sta facendo la collaborazione Opera: è una corretta pratica scientifica -, ha commentato Il direttore di ricerca del Cern Sergio Bertolucci. – Se questa misura fosse confermata potrebbe cambiare la nostra visione della fisica ma dobbiamo essere sicuri che non esistano altre, più banali, spiegazioni. Ciò richiederà misure indipendenti-».

L’argomento “neutrini” si può approfondire direttamente sul sito dell’ esperimento Opera.
In classe ho anche ricordato la storia del neutrino, di come sia “nato” da una previsione teorica di Wolfgang Pauli e di come sia stato scoperto sperimentalmente vent’anni dopo (consiglio l’articolo di Antonio Sparzani su Nazione Indiana).

2) Qualche esercizio

Classica deformazione professionale… La seconda cosa che mi è venuta in mente è stata questo esercizio: “Se la velocità della luce è di 299 792,458 km/s, la distanza fra i laboratori di Ginevra e del Gran Sasso è di 732 km e sapendo che i neutrini arrivano prima dei fotoni di 60 ns, qual è la velocità dei neutrini? Se nei dati si sostituisce alla velocità della luce il valore approssimato di 300 000 km/s, cambia qualcosa?”. E siamo anche fortunati perché, di solito, in questo periodo stiamo proprio spiegando in cinematica, il concetto di velocità, con la sua ben nota formula che permetterà di risolvere il problema in maniera semplice e indolore. Ecco un bell’esempio di applicazione della formula della velocità a qualcosa di attuale (insieme ovviamente all’autovelox che ogni volta che viene pronunciato in classe sveglia chiunque dal torpore!). Il rischio è però che il numero che si ottiene non dia nessuna “scossa”, un po’ come nel calcolo della distanza sole – terra, sapendo che la luce del sole ci raggiunge solo dopo 8 minuti. Vabbè, si ottiene un numero enorme di km che non ci dice poi nulla. Allora lo faccio sempre confrontare con il diametro terrestre: “quante terre ci vorrebbero per arrivare fino al sole?” Allora sì che il numero ci impressiona forse un po’ di più. Oppure lo faccio confrontare con la lunghezza dell’Italia.

Nel caso della velocità dei neutrini, per far toccare con mano che cosa significano 60 ns in più o in meno, in termini di distanza percorsa, potremmo chiedere per esempio di quanto un neutrino distanzierebbe un fotone in una gara che prevedesse un secondo di corsa, cioè “dopo un secondo, quanta distanza in più percorre un neutrino rispetto a un fotone?”. E dopo due secondi? Così vediamo se è poi “così tanto più veloce” oppure no (ammesso che lo sia, ndr).

3) La teoria degli errori

Altra fortuna: seguendo il programma è arrivato il momento di affrontare la teoria degli errori. E in questo caso la fortuna è doppia, perché è proprio grazie a questa teoria che si basa l’attendibilità o meno di un risultato sperimentale. Ripetibilità e accuratezza. Tutto il mondo scientifico è con il fiato sospeso perché la velocità dei neutrini sarà misurata anche nei laboratori giapponesi e statunitensi.

A questo proposito conviene leggere l’intervista su La Stampa a Ereditato:
«Si tratta di un risultato così inaspettato che ci obbliga ad essere cauti. Ogni misura può essere alterata da due tipi di errori. In primis gli errori statistici, che possono derivare dalla scarsità dei casi esaminati: per questo abbiamo preso in considerazione un elevato numero di eventi, 15 mila, e continueremo a raccogliere i dati. Il secondo tipo di errore è sistematico e può essere dovuto a difetti delle strumentazioni. Ecco perché è necessario che le misure vengano ripetute altrove: esistono strumenti adatti sia negli Usa che in Giappone. [...] Le nostre stime dell’effetto combinato dell’errore statistico e di quello sistematico ci portano ad un margine di incertezza di 10 miliardesimi di secondo: anche nella peggiore delle ipotesi i neutrini avrebbero un netto vantaggio rispetto alla luce. Questo almeno risulta dall’analisi dei dati, che abbiamo svolto al meglio delle nostre competenze e tenendo conto degli effetti oggi conosciuti» Alla domanda “Dovevate conoscere in modo precisissimo sia la distanza fra il Cern e il Gran Sasso che il tempo di percorrenza. Come avete fatto?” lo scienziato inoltre risponde: «Ci siamo affidati a esperti di geodesia della Sapienza di Roma e di istituti svizzeri e tedeschi. Per misurare le distanze sono stati  utilizzati dei Gps sofisticati, mentre per i tempi di percorrenza abbiamo adoperato degli orologi atomici sincronizzati».

Se gli altri laboratori otterranno un valore compatibile con quello ottenuto al Gran Sasso, la notizia acquisterà oggettività scientifica e verrà accettata come plausibile. In caso contrario, adieu!
Nel frattempo un buon esercizio può essere quello di applicare la propagazione degli errori alla velocità dei neutrini, a partire dai dati comunicati sulle incertezze di  intervallo di tempo e distanza (ad esempio) dall’Infn:
«Abbiamo sincronizzato la misura dei tempi tra il Cern e il Gran Sasso con un’accuratezza al nanosecondo e abbiamo misurato la distanza tra i due siti con una precisione di 20 centimetri -, ha detto Dario Autiero il ricercatore del CNRS.[...] Nonostante che le nostre misure abbiano una bassa incertezza sistematica e un’elevata accuratezza statistica, e che la fiducia riposta nei nostri risultati sia alta, siamo in attesa di confrontarli con quelli provenienti da altri esperimenti-
In effetti i dati mostrati si riferiscono a misure relative a più di 15.000 eventi e le misure di sincronizzazione tra il momento della produzione del fascio di neutrini al Cern e quello della rilevazione nel rivelatore di Opera mostrano un errore (10 nanosecondi) ben al di sotto del tempo di anticipo osservato (i neutrini arrivano con 60 nanosecondi prima di quanto aspettato). […]L’anomalia riscontrata nella velocità del neutrino maggiore di 20 parti per milione rispetto alla velocità della luce, considerato il limite massimo di velocità, dovrà pertanto essere discussa e verificata dalla comunità scientifica».

Quale occasione migliore per sottolineare il potere e il valore della teoria degli errori?

4) Il metodo scientifico

Qui ci dobbiamo consultare anche con i nostri colleghi di filosofia, che ben sapranno integrare e interpretare questa vicenda alla luce del principio di falsificabilità delle teorie ecc ecc. A me interessa molto sottolineare l’aspetto di “sospensione del giudizio” su teorie ma anche su risultati sperimentali che spesso caratterizza la storia della scienza: insomma, bisogna aver pazienza, fa parte del metodo scientifico. E come lezione mi sembra possa bastare. Soprattutto dopo una bagarre giornalistica tutta italiana che altro non ha fatto che tratte conclusioni avventate, mentre la voce dei protagonisti scientifici, al Cern, diceva tutto il contrario, sentite qui (tanto per fare un po’ di “sperimentazione Clil”):  «Despite the large significance of the measurement reported here and the stability of the analysis, the potentially great impact of the result motivates the continuation of our studies in order to investigate possible still unknown systematic effects that could explain the observed anomaly. We deliberately do not attempt any theoretical or phenomenological interpretation of the results».

Per capire quali potrebbero essere le conseguenze della scoperta, consiglio l’articolo del direttore de “Le Scienze“ Marco Cattaneo pubblicato oggi sul quotidiano “La Repubblica“, che ha come sottotitolo “Come cambierebbe la fisica se si andasse più veloce della luce”.

Link:

• http://www.scienzainrete.it/contenuto/articolo/misura-di-opera-e-solida-ma-continuiamo-controlli articolo di Antonio Ereditato
• http://www.borborigmi.org/2011/09/23/considerazioni-dopo-il-seminario-di-opera-ovvero-di-come-si-misura-la-velocita-dei-neutrini-superluminali-o-meno una spiegazione dell’esperimento da parte di Marco Delmastro, fisico delle particelle del Cern
• http://public.web.cern.ch/public/en/Research/CNGS-en.html pagina divulgativa del Cern dedicata all’argomento
•  http://www.keplero.org/2011/09/piu-veloci-della-luce.html dal blog dell’astrofisico Amedeo Balbi
• http://peppe-liberti.blogspot.com/2011/09/neutrinologia.html dal blog del fisico teorico Peppe Liberti
• http://keespopinga.blogspot.com/2009/10/il-neutrino-di-updike.html    e http://keespopinga.blogspot.com/2011/09/qualche-rima-sul-neutrino.html?spref=fb divagazioni letterarie sul neutrino dal blog di Marco F. Barozzi
• http://blogs.scientificamerican.com/basic-space/2011/09/23/faster-than-light-neutrinos-show-science-in-action/  dal blog di Scientific American
• http://www.newscientist.com/special/neutrinos?DCMP=NLC-nletter&nsref=neutrinos dossier di NewScientist
• http://imascientist-film.org.uk/ un film che si chiede “What is it like to be a scientist?” con interviste a sei scienziati, tutto in lingua inglese

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In una delle mie navigazioni in rete ho trovato un sito in italiano sulla teoria dei numeri, che espone i principali argomenti in maniera chiara e sintetica. È un argomento che a scuola non si riesce ad affrontare in maniera completa, quindi il materiale on line di questo ipertesto può servire per approfondimenti e per conoscere anche gli aspetti di storia della matematica. Lo utilizzerò di sicuro il prossimo anno! Dimenticavo: il sito si chiama Magiadeinumeri.it.

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Non poteva trovare un titolo migliore, il progetto a cura dei professori Franco Ghione e Laura Catastini del gruppo di ricerca scientifica e didattica dell’Università di Roma “Tor Vergata”. Il sottotitolo è “Storia, didattica, arte” ma per capire veramente di che cosa si tratta, bisogna navigare fra le pagine del sito web, perché i materiali al suo interno sono tantissimi e molto variegati.
Il progetto è rivolto agli insegnanti delle scuole superiori e raccoglie molti contributi come: la rubrica denominata “Scuola actually” (con lavori e riflessioni di tutti coloro che fanno parte del mondo della scuola), la sezione degli articoli (con articoli e contributi più estesi di didattica della Matematica, storia della disciplina, e collegamenti con l’arte – come i saggi su Piero della Francesca – e la psicologia o le neuroscienze) o anche la pagina con le animazioni Java (ne ho scoperta una utilissima che illustra graficamente la riflessione della luce in uno specchio parabolico oppure un’altra sul teorema di Carnot e tante per capire l’Ottica di Euclide).
Insomma, anche se l’ultimo aggiornamento risale al 2009, vale proprio la pena di consultare questo sito ricco e interessante.
Dimenticavo: nel sito è possibile scaricare il testo integrale del libro di Laura Catastini Il pensiero allo specchio e il libro di Franco Ghione Tau Topologo con le illustrazioni di Mario Schifano.

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