Linee di scienza

Nella seconda prova dell’esame di Stato per il liceo scientifico (corso di ordinamento) del 2011, fra i dieci quesiti compariva il seguente: «In che cosa consiste il problema della quadratura del cerchio? Perché è così spesso citato?».

immagine: Muliere, Quadratura del cerchio, 1995

Il problema della quadratura del cerchio consiste nel costruire con riga e compasso (cioè con costruzioni geometriche che utilizzino solo rette e circonferenze) un quadrato che abbia la stessa area di un cerchio oppure – in maniera equivalente – un quadrato il cui perimetro abbia la stessa lunghezza della circonferenza. La sua risoluzione è impossibile. E questo è un primo motivo per la sua celebrità. Il secondo è che fa parte, insieme alla trisezione dell’angolo (“determinare con riga e compasso un angolo di ampiezza un terzo di un angolo dato”) e alla duplicazione del cubo (“determinare con riga e compasso un cubo di volume doppio di un cubo di spigolo dato”), dei tre problemi classici della geometria euclidea. Il matematico Lindemann nel 1882 ha dimostrato algebricamente che tutti e tre i problemi non si possono risolvere con riga e compasso. Dal punto di vista algebrico infatti, il problema della quadratura del cerchio si può rappresentare con un’equazione che uguaglia l’area del cerchio (di lato R) a quella del quadrato (di lato L): πR² = L². Lindemann dimostrò che pigreco è un numero trascendente e quindi non può essere rappresentato come il rapporto dei due numeri interi. Non è quindi possibile realizzare con riga e compasso segmenti lunghi pigreco.

Il problema è talmente famoso che è stato citato perfino da Dante nel Paradiso della Divina Commedia nel XXXIII canto, nelle terzine 123-138 che iniziano con i celebre versi “Qual è il geometra che tutto s’affige / Per misurar lo cerchio, e non ritrova,”… Il problema della quadratura del cerchio è stato trattato da Dante anche in altri frangenti, come si legge in questa pagina di un interessante ipertesto on line intitolato “Dantematica” a cura di Maddalena Falanga e Luciano Battaia.

Gianluigi Filippelli ha realizzato con Geogebra una dimostrazione senza parole di come il cerchio rotolante possa quadrare se stesso. Animazione citata anche dall’ottimo lavoro on line di Marco Cameriero (che è stato riportato anche nel sito Matematicamente): ne consiglio la lettura anche perché contiene materiali da portare direttamente in classe, soprattutto quelli sui metodi di approssimazione della quadratura del cerchio, che sono delle vere e proprie schede didattiche già pronte.

Come collegamento al tema trattato, si possono studiare gli altri due problemi classici già citati oppure approfondire i due argomenti seguenti:

1) Il teorema delle lunule di Ippocrate, che rappresenta «la prima quadratura rigorosa di un’area curvilinea» (come si legge in “Le curve celebri” di Luciano Cresci, Orme ed.). Si tratta di un teorema che nacque in seguito alla ricerca della quadratura del cerchio e afferma che “Segmenti di cerchio simili stanno tra loro come i quadrati costruiti sulle loro basi”. Nella pagina web del sito “base 5” trovate la dimostrazione che l’area della lunula è uguale a quella del triangolo rettangolo:

2) La curva denominata “quadratrice di Dinostrato” che (sempre dal libro di Cresci) grazie all’utilizzo della trisettrice di Ippia, riesce a quadrare il cerchio. Se ci si riferisce all’animazione seguente (trovata su Wikipedia), Dinostrato ha dimostrato che il segmento DC è medio proporzionale tra l’arco DB e il segmento AF: «è così possibile ottenere un segmento rettilineo della lunghezza dell’arco DB» spiega nel suo libro Luciano Cresci «pari ad un quarto di circonferenza. Di qui è facile, con semplici costruzioni geometriche, arrivare ad un quadrato della stessa area di un cerchio di raggio DC».

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La notizia è straordinaria (sì, lo so ci sono anche i neutrini… ma ne parlerò settimana prossima!! ):
«Per la prima volta ricercatori dell’Università di Milano-Bicocca e della New York University sono riusciti a costruire “gabbie” fatte di molecole che riescono a ospitare altre molecole cambiandone forma e proprietà. Le strutture, tenute insieme da legami a idrogeno, sono molto stabili e, cosa ancor più straordinaria, assumono le forme geometriche che gli studiosi decidono di volta in volta di realizzare». Quando l’ho letta, la mia parte matematica ha gioito, perché le prime forme geometriche sperimentate dai ricercatori sono state quelle dei  13 poliedri Archimedei, figure ideali della geometria solida descritte nel III secolo a.C.

La ricerca è durata due anni ed è il frutto della collaborazione fra Angiolina Comotti ricercatrice di Chimica Fisica nel Dipartimento di Scienza dei Materiali dell’Università di Milano-Bicocca e il professor Michael Ward del Dipartimento di Chimica della New York University; i risultati sono stati pubblicati sul numero del 21 luglio 2011 della rivista Science.
Nel comunicato stampa si legge che grazie a questo “confinamento molecolare” (dovuto alle gabbie che hanno una geometria “artificiale”) le molecole ospitate in esse acquistano nuove proprietà che per via chimica sarebbe impossibile conseguire. «È una bella soddisfazione – dice Angiolina Comotti – riuscire a costruire ciò che si è progettato a tavolino e ancor di più far fare alle molecole compiti precisi. È un po’ come se riuscissimo a far cambiare mestiere alle molecole».

Questo argomento si può sviluppare in classe da vari punti di vista, perché coinvolge fisica, chimica, geometria e biologia (penso al collegamento con i virus, che sono gabbie molecolari “naturali”, o al legame fra struttura terziaria e funzione delle proteine…).
Lineediscienza preferisce orientarsi verso il legame fra forme geometriche e natura, di eco pitagorico, che è un altro bell’esempio di come la matematica sia un linguaggio molto fecondo per la fisica. E la matematica in questione è la geometria.
Il primo approfondimento didattico potrebbe riguardare la scoperta dei quasi cristalli: provare a fare un brain storming a partire dalla domanda “che cos’è un cristallo secondo voi?” e portare poi immagini di reticoli cristallini insieme a diverse definizioni, come “un cristallo è costituito da un arrangiamento periodico di atomi o gruppi di atomi, detto reticolo”. Legare la struttura microscopica regolare dei cristalli alla proprietà geometrica di simmetria. “Quanti tipi di simmetria può avere un cristallo di NaCl?” ecc. Dal punto di vista matematico, certi tipi di simmetrie per rotazione sono però impossibili da realizzare nei reticoli periodici: per esempio la cosiddetta “simmetria di rotazione quintupla rispetto a un asse”, cioè la rotazione di un angolo di 72° (che corrisponde a un quinto di 360°) rispetto a un qualsiasi asse scelto, creerà una configurazione sempre diversa da quella del reticolo di partenza.
L’aspetto sensazionale è che nel 1982 dalle analisi spettroscopiche compiute da Dan Shechtman di alcune sostanze metalliche, emerse proprio questa simmetria quintupla, che la geometria aveva dimostrato “impossibile”! Gli atomi di tali sostanze – chiamate poi “quasi cristalli” – sono disposti in maniera ordinata ma non periodica. I matematici chiamano tali strutture “tassellature non periodiche dello spazio” e i bellissimi lavori di Roger Penrose ne sono un esempio.
A questo punto si può anche assegnare una ricerca sulle tecniche spettroscopiche in fisica che permettono di svelare la struttura interna dei materiali, per concentrarsi sulla diffrazione a raggi x. E portare in classe un Cd per vedere lo spettro (chiamiamolo anche “arcobaleno”…) che si crea, grazie alla diffrazione di Bragg. Viceversa, se si sta affrontando l’argomento di ottica, si può parlare dei quasi cristalli come una delle possibili applicazioni pratiche della diffrazione.

Un’altra proposta di riflessione in classe è di tipo filosofico-storico, che prende in considerazione il modello dell’universo che ideò Keplero basato sui cinque poliedri regolari di Euclide. Secondo tale disegno l’universo è rappresentato come una serie di solidi “annidati” uno dentro l’altro, con al centro il sole. Vi consiglio questo ipertesto intitolato “solidi platonici” che nella pagina dedicata a Keplero, oltre alle illustrazioni storiche, contiene anche il link all’animazione a cura del Planetario di Milano, che ben illustra l’idea cosmologica del grande pensatore.

In rete:

• 52 pagine di lucidi sui quasicristalli, un lavoro in pdf da sfruttare nella lezione frontale: http://studentifisica.110mb.com/corso/file-quinto/Fotonica/2009-2010/lezione15.pdf
• reticoli bidimensionali e simmetria: una trattazione sintetica dell’argomento a cura del prof. Roberto Masciocchi dell’Università dell’Insubria
  http://scienze-como.uninsubria.it/masciocchi/pdf/strutturistica02.pdf
• 65 pagine di approfondimento per la ricerca sulla diffrazione a raggi x: http://www.sa.unina2.it/download/appunti/appunto_373/Lab_Int_Iacovino.pdf
• 59 pagine sempre sulla diffrazione a raggi x: http://www.terra.unimo.it/appunti/958.pdf
• un percorso didattico intitolato “La vita segreta dei cristalli“: http://web.unife.it/progetti/matematicainsieme/sitocristalli/index.html
  (vi consiglio la pagina sulla storia dei poliedri: http://web.unife.it/progetti/matematicainsieme/sitocristalli/cenni_sto00.htm)
• ah già: dimenticavo il mio post sulle simmetrie: 
  http://lineediscienza.linxedizioni.it/2010/06/27/il-mondo-delle-simmetrie/

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Non poteva trovare un titolo migliore, il progetto a cura dei professori Franco Ghione e Laura Catastini del gruppo di ricerca scientifica e didattica dell’Università di Roma “Tor Vergata”. Il sottotitolo è “Storia, didattica, arte” ma per capire veramente di che cosa si tratta, bisogna navigare fra le pagine del sito web, perché i materiali al suo interno sono tantissimi e molto variegati.
Il progetto è rivolto agli insegnanti delle scuole superiori e raccoglie molti contributi come: la rubrica denominata “Scuola actually” (con lavori e riflessioni di tutti coloro che fanno parte del mondo della scuola), la sezione degli articoli (con articoli e contributi più estesi di didattica della Matematica, storia della disciplina, e collegamenti con l’arte – come i saggi su Piero della Francesca – e la psicologia o le neuroscienze) o anche la pagina con le animazioni Java (ne ho scoperta una utilissima che illustra graficamente la riflessione della luce in uno specchio parabolico oppure un’altra sul teorema di Carnot e tante per capire l’Ottica di Euclide).
Insomma, anche se l’ultimo aggiornamento risale al 2009, vale proprio la pena di consultare questo sito ricco e interessante.
Dimenticavo: nel sito è possibile scaricare il testo integrale del libro di Laura Catastini Il pensiero allo specchio e il libro di Franco Ghione Tau Topologo con le illustrazioni di Mario Schifano.

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“Amo la Matematica” è il sito di Daniela Molinari, che insegna Matematica e Fisica presso il Liceo Scientifico “Decio Celeri” di Lovere (Bg).
Sono felice di scoprire durante le mie peregrinazioni in rete, sempre più siti curati da insegnanti italiani, tutti ricchi di proposte e materiali di ottima qualità, insieme ai materiali didattici usati quotidianamente.
Nel sito della prof. Molinari infatti è possibile vedere i testi e le soluzioni dei compiti in classe che propone ai suoi studenti e anche un catalogo ben realizzato di utili schemi e riassunti (un bel modo per condividere le pratiche scolastiche sia con gli studenti sia con tutti gli altri insegnanti, me compresa!) insieme ad approfondimenti di storia della Matematica e della Fisica e a tantissimi consigli di lettura. Questi ultimi sono assolutamente da consultare: nella pagina “libri” ci sono ben 79 schede a tutt’oggi, che presentano libri importanti, insieme alle ultime novità (ho ritrovato tanti libri che amo proporre in classe anch’io).
Nella sezione “Curiosità” ho trovato (e mi sono già scaricata, perché li leggerò come autoaggiornamento) testi molto interessanti, come ad esempio quello intitolato “L’ansia, la Matematica e la voglia di imparare” e che ha come sottotitolo “in che misura le nostre paure possono compromettere la nostra capacità di imparare la matematica” che è la relazione finale dell’anno di formazione della Molinari e che affronta tematiche fondamentali per chi accetta ogni giorno questa importante sfida educativa. E testi come gli appunti della conferenza di Giuseppe Pea sul tema “Come appassionarsi alla Matematica?”….
Insomma, ho scoperto un bel posto dove arricchirsi di Matematica e Fisica sotto tutti gli aspetti e che sono felice di poter condividere con voi :-)

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L’iconografia dell’insegnamento della Matematica e della Fisica è vasta: noi insegnanti abbiamo bisogno delle immagini e dei grafici nel nostro lavoro quotidiano, inimmaginabile se non fosse “illustrato”. Si pensi a tutte le dimostrazioni della geometria euclidea… ma non solo. Anche in Fisica le immagini posso chiarire immediatamente quello che le parole faticano a comunicare. Guardate nell’immagine la bella catenaria, curva descritta dal coseno iperbolico, che rappresenta fisicamente la linea determinata da una catena o da una fune vincolata agli estremi e sottoposta solo al proprio peso. Ringrazio il prof. e ing. Franco Maria Boschetto del Liceo Scientifico e Classico di Gallarate per avere raccolto in un’unica pagina del suo sito web, tante immagini di sicura utilità didattica. Si spazia dalla geometria piana a quella solida fino alle bolle di sapone e agli stereogrammi.

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