Le coniche: una impostazione stereometrica
«Questa parte di matematica è uno dei capitoli storicamente più affascinante» scrive il professor Giovanni Vaccaro nel suo libro intitolato Sussidiario di matematica. Gioco di strutture su micro-ambiente: le coniche (scaricabile in pdf. dal sito del mio liceo). Le coniche costituiscono infatti un argomento che ha occupato le menti dei matematici greci e in seguito quelle dei matematici del ‘600 e del ‘700, che coinvolge molteplici strutture: algebra, geometria euclidea, goniometria, geometria analitica con le trasformazioni del piano in sé, algebra lineare (le matrici) e analisi. Un’ottima opportunità quindi per far cogliere allo studente l’unità del sapere matematico.
Vi propongo una programmazione didattica dell’argomento (limitata al caso dell’ellisse ed espandibile a tutte le coniche) tratta dal testo di Vaccaro, un lavoro che merita una lettura attenta per coglierne a pieno la ricchezza: grazie alla contestualizzazione storica e argomentativa, ogni procedura operativa diviene più chiara e meno astratta.
Prima definizione di Ellisse secondo i canoni di Apollonio
(pag. 11-13)
Per quanto riguarda per esempio dell’ellisse, Vaccaro parte con l’analisi stereometrica della sezione conica ottenuta sezionando un cono indefinito a due falde (oppure usando una sfera e un piano ad essa tangente, come si vede a pag. 44) e trova la relazione di Apollonio che afferma: “assegnato un segmento di misura l trovare il rettangolo che diminuito di un quadrato sia equivalente ad un secondo quadrato”. «Da questa affermazione scaturisce il nome attribuito a questa sezione conica Ellisse, che in greco significa mancante: cioè il quadrato è equivalente al rettangolo di lato assegnato l mancante di un quadrato. Questa parola era già nota ai matematici greci che l’avevano usata in un altro contesto nella risoluzione geometrica di equazioni di secondo grado: x^2 + b^2 = ax».
Dopodiché si ricava la nota equazione dell’ellisse con la simbologia dell’algebra moderna, semplicemente con un opportuno cambio di parametri e incognite (rimando ai pochi passaggi di pag. 13, che potete anche vedere nell’immagine seguente).
Seconda definizione di Ellisse come luogo geometrico: somma di distanze
(pag. 13-15)
Dalla definizione di Apollonio si dimostra come essa porti al luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi.
Anche in questo caso si ricava l’equazione dell’ellisse che risulta formalmente uguale a quella trovata precedentemente per altra via con l’aggiunta della condizione che lega i parametri a, b e c: (le note “condizioni dell’ellisse”).
Terza definizione di Ellisse come luogo geometrico: rapporto di distanze
(pag. 15-19)
«Si chiama Ellisse il luogo geometrico dei punti del piano π per i quali risulti costante ( e ) il rapporto delle distanze da un punto fisso ( F ) e da una retta fissa ( d )».
Si ottiene la stessa equazione trovata con gli altri metodi geometrici. Si passa inoltre a determinare il significato geometrico di e, (l’eccentricità dell’ellisse).
Conclusioni
La presentazione stereometrica dell’argomento Coniche fa emergere le proprietà dei punti della sezione conica da considerazioni di tipo geometrico: «infatti attraverso una serie di assiomi, di teoremi, di corollari e di definizioni ora di geometria piana ora di geometria solida […]» si individuano e dimostrano «relazioni fra segmenti opportuni che determinano univocamente le proprietà di detti punti». Inoltre «la trasformazione delle relazioni geometriche nel linguaggio moderno di tipo algebrico con relativo bagaglio operativo è servito semplicemente a rendere più snello il calcolo e più chiari e semplici i risultati raggiunti. Tale trasformazione ha permesso di formalizzare in termini di equazioni o identità dette relazioni geometriche e di constatare che tutte e tre ricerche conducono allo stesso risultato».
Ma non è affatto finita qui: il testo di Vaccaro ha ben 312 pagine, e costituisce una vera e propria summa sull’argomento, con lo scopo di arricchire la didattica con approfondimenti ed esercizi.
Il capitolo primo si conclude con le seguenti considerazioni: «il problema che si pone ora è “ Una equazione algebrica di secondo grado a due variabili in generale definisce una sezione conica, visto che algoritmi algebrici permettono di trasformarla in una delle tre forme scritte sopra ? “ La risposta a questo problema sarà oggetto del secondo capitolo con l’introduzione della Geometria analitica , dovuta al matematico e filosofo René Descartes ( Cartesio 1596 – 1650 ) col contributo di Pierre De Fermat, François Viète e di altri insigni matematici».
Come si può vedere, l’impostazione dell’argomento è veramente più completa e organica di quella “solita” che al confronto risulta astorica e priva del contesto matematico unitario nella quale invece è inserita.
Si può integrare la propria lezione anche con la lettura tratta da “Storia della matematica” di C.H.Boyer (pagina 48 nell’Appendice 2), che a proposito dell’ellisse riporta: «La prima scoperta dell’ellisse sembra essere stata fatta da Menecno come risultato collaterale di una indagine nella quale erano la parabola e l’iperbole che offrivano le proprietà richieste dalla soluzione del problema di Delo: la duplicazione del cubo. Partendo da un cono circolare retto e con angolo al vertice di 90°, Menecno trovò che, allorché il cono viene tagliato da un piano perpendicolare ad una generatrice, la curva intersezione è tale che, in termini di moderna geometria analitica, la sua equazione può venire scritta nella forma y2 = lx , dove l è una costante dipendente dalla distanza del piano di intersezione dal vertice. Non sappiamo in che modo Menecno abbia derivato questa proprietà, ma essa dipende soltanto da teoremi di geometria elementare».
A pag. 75 trovate inoltre il metodo per costruire le coniche con riga e compasso e a pag. 79 il tracciamento meccanico.
