Linee di scienza

Ecco un argomento che mostra la bellezza della matematica. Basta uno sguardo per rendersene conto: mi riferisco alle cosiddette dimostrazioni senza parole.

Si tratta di dimostrazioni grafiche di proprietà geometriche o di teoria dei numeri, che rendono comprensibili i concetti senza utilizzare ragionamenti verbali, come potete vedere dall’immagine precedente, tratta dall’ipertesto on line “Matematica visuale” (tesi di Laurea, prof. Laura Citrini, Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione, Università di Crema).
Sempre dallo stesso ipertesto è possibile ammirare e portare in classe agli studenti alcune dimostrazioni di formule goniometriche e teoremi trigonometrici, come ulteriore complemento dopo aver affrontato le dimostrazioni canoniche riportate nei libri di testo. Le dimostrazioni sono animate e sono visibili con Flash Player (gratuito e facilmente scaricabile). Si possono utilizzare direttamente in classe perché la dimostrazione è guidata passo per passo.
1) Il coseno della differenza di due angoli
2) Il seno della somma di due angoli
3) Il teorema del coseno

Il teorema del coseno ha anche una dimostrazione grafica “statica” nella figura riportata nell’articolo del blog di Gianluigi Filippelli, insieme ad altre due immagini che sfruttano il teorema di Tolomeo.

Un altro argomento fertile per questo tipo di operazione didattica è il teorema di Pitagora. Joran Friberg, dell’Università di Goteborg in Svezia, ha ideato una dimostrazione in GeoGebra: i quadrati costruiti sui cateti vengono divisi in triangoli e trapezi dai colori diversi e poi fatti muovere fino a riempire il quadrato grigio (inizialmente vuoto) costruito sull’ipotenusa. Propongo questa prima modalità di utilizzo a scuola, che riporta a un’espressione finale di tipo verbale: proiettare in classe l’animazione e poi chiedere agli studenti di spiegarla, di trovare gli elementi chiave della dimostrazione. Per esempio, in questo caso, il triangolo verde è costruito in modo tale che sia uguale al triangolo ABC e il triangolo giallo è anch’esso rettangolo e ha un cateto uguale al triangolo di partenza ABC…
Per quanto riguarda il teorema di Pitagora, le dimostrazioni sono tantissime, consiglio la pagina web Matematica – Dimostrazioni a vista o con semplici tecniche grafiche di Maddalena Falanga e Luciano Battaia, che contiene anche alcune vie grafiche ai teoremi di analisi di quinta liceo, come il Teorema di Lagrange o la regola di derivazione della funzione inversa. Non fa mai male rivedere da un altro punto di vista questi argomenti fondamentali.

Nel forum del famoso sito “Base5” ho trovato un commento che segnala un articolo di Claudio Bernardi pubblicato a marzo 2012 sul notiziario dell’Umi (Unione Matematica Italiana) e che riporta varie dimostrazioni senza parole. Potete ammirare questa immagine animata (che ho preso dal forum) che ricava i coefficienti del triangolo di Tartaglia con i quadrati!

Per quanto riguarda i prodotti notevoli (ma non solo) c’è il meraviglioso materiale originale di Roberto Zanasi, raccolto nel suo blog “Gli studenti di oggi”. In uno dei suoi post, l’autore riporta, oltre alla classica dimostrazione bidimensionale della formula del quadrato di un binomio, una realizzazione tridimensionale (in legno) della dimostrazione della formula del cubo di un binomio! Consiglio anche l’approssimazione di pi greco senza parole.

Esercizi

• Per gli esercizi consiglio le schede del percorso didattico ideato da Domingo Paola del liceo Issel di Finale Ligure Borgo (è uno degli autori insieme a Paolo Fasce del libro “Pensieri sottobanco. La scuola raccontata alla mia gatta” che avevo recensito anch’io). Paola propone alcune dimostrazioni tratte da testo di Roger B. Nelsen, “Proof without words”, pubblicato da The Mathematical Association of America. Ecco un brano tratto dalla presentazione del lavoro:
  «Si è sperimentato l’uso delle “dimostrazioni senza parole” in due modi:
  - presentando agli alunni delle schede, che non contengono la relazione o la formula da dimostrare, ma che guidano alla scoperta di tale risultato;
  - sottoponendo agli alunni una sorta di “rebus”, cioè presentando la relazione da dimostrare, alcune figure tra loro collegate e qualche piccolo suggerimento.
  La ricerca della dimostrazione proposta dalle schede può essere condotta individualmente, in gruppi di 2 o 3 persone o mediante una discussione collettiva. La prima fase del lavoro consiste prima nell’intuire e poi nel costruire le dimostrazioni richieste; la seconda fase nell’esposizione, orale o scritta, in linguaggio rigoroso, dei procedimenti dimostrativi individuati.
  Gli alunni sono poi invitati ad estendere alcune proprietà ad altri casi, utilizzando metodi dimostrativi analoghi.
  La discussione in classe sul lavoro svolto dagli alunni e sui risultati ottenuti è infine preziosa occasione di precisazioni e approfondimenti sia sui contenuti del lavoro stesso che sulle procedure utilizzate».
  Le schede contengono esercizi di carattere algebrico e sono complete dal punto di vista dell’utilizzo immediato con gli studenti: ogni modulo contiene tutte le fasi del lavoro da svolgere in classe, passo per passo.
• Vi consiglio infine un altro esercizio trovato in rete: «in un triangolo rettangolo la mediana relativa all’ipotenusa è congruente a metà ipotenusa» (qui una dimostrazione grafica del teorema).

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L’idea di parlare di matematica e memoria mi è venuta leggendo il breve ma utile testo del prof. Luigi La Gatta intitolato “Come studiare la matematica” e scaricabile direttamente a questo indirizzo. Sono solo cinque pagine, ma i consigli sono appropriati, vale la pena riportare il brano che ha come sottotitolo “L’importanza della memorizzazione”:

«Ci sono due tipi di memoria: la memoria concettuale, basata sulla comprensione ed interpretazione del testo studiato e la memoria ripetitiva, legata alla ripetizione meccanica di dati. Si possono suggerire all’alunno alcune mnemotecniche tenendo presente che ogni individuo può attivare uno dei seguenti tipi di memoria:
* visiva (tende a collegare i concetti alle immagini)
* uditiva (tende a ricordare parole e frasi ripetendole ad alta voce)
* motoria (tende a ricordare le informazioni collegandole ad azioni e movimenti compiuti)
Mnemotecnica dei loci: l’alunno può collegare i concetti ad un percorso a lui familiare. Se per andare a scuola con l’autobus fa tre fermate, ad ogni fermata può collegare un concetto in ordine logico. Difficilmente dimenticherà la successione dei concetti.
Mnemotecnica filmica: consiste in un libero gioco della fantasia perché l’alunno può arrivare a creare dei veri film, in cui ogni sequenza corrisponde al concetto da memorizzare».

(nell’immagine l’incisione “Promemoria -Pro/Memoria” di Antonio Papasso)

Esempi
Ma che cosa vale la pena di memorizzare in matematica? Sempre dal testo di La Gatta si trovano un “memorizzare le definizioni” e “memorizzare/applicare concetti e metodi”.
Per quanto riguarda la mia esperienza ho notato che sono soprattutto le formule ad aver bisogno di qualche aiuto per essere ricordate. Ecco alcuni esempi:

• le formule di addizione e sottrazione di seno e coseno cos (a+b) = (cos a cos b) – (sin a sin b) e sin (a+b) = (sin a cos b) + (cos a sin b) . Premesso che a lezione si ricavano con dimostrazione e quindi risultano giustificate, va detto anche che lo studente non può tutte le volte ricavarsele dall’inizio e che dunque deve in qualche modo ricordarsele. Io ho trovato questa osservazione: il coseno sia della somma sia della differenza ha come risultato le stesse funzioni goniometriche (“coseno coseno” e “seno seno”) e allora, se le lascia uguali, deve cambiare il segno fra di loro (quindi se si ha la somma degli angoli, si dovrà sottrarre il prodotto delle due funzioni). Invece la formula del seno della somma e differenza fra due angoli scambia fra loro seno e coseno (abbiamo infatti “seno coseno” e coseno seno”) e allora, visto che già cambia le funzioni, manterrà lo stesso segno fra di loro (quindi a somma di angoli corrisponde somma del prodotto delle due funzioni e a differenza la differenza). Insomma si lasciano i + e i meno così come sono se si scambiano seno e coseno e invece si cambiano i segni se si lasciano le stesse funzioni.
• I teoremi dei triangoli rettangoli coinvolgono gli angoli adiacenti ai cateti solo per le co-funzioni (quindi nel primo teorema avrò il coseno dell’angolo acuto adiacente al cateto e nel secondo teorema la cotangente; mentre per gli angoli opposti al cateto considerato avrò seno e tangente)
• La formula della derivata di una funzione fratta (N/D) per me è stato sempre un problema: addirittura durante lo scritto di un esame all’università avevo chiesto all’assistente se era la derivata del numeratore per il denominatore meno il numeratore per la derivata del denominatore o viceversa e lui mi aveva risposto che queste cose le dovevo sapere io!!!! Finalmente una mia studentessa di quinta mi ha suggerito un metodo di “simmetria visiva”, visto che prima viene il numeratore N e dopo il denominatore D, il numeratore della formula della derivata sarà N’ D – N D’ con le derivate N’ e D’ agli estremi. Il denominatore della formula invece è semplice perché è sempre il D alla seconda.
• Agli studenti che non si ricordano la seconda legge della dinamica F = ma dico di pensare a me: F(rancesca) = Ma (gni)
• La prima legge di Ohm è in “Vir” latino V = R i (lo sapevo che finivo per parlare anche di fisica…)
• Per ricordarsi la formula del volume della sfera c’è la filastrocca con rima “il volume della sfera qual è? Quattro terzi pi-greco erre tre”. In questa pagina web potete trovare molti altri trucchi mnemonici del genere (anche nelle altre lingue e per altre materie) così come in questa pagine di wikiquote dedicata alle mnemotecniche.

Dopo i pro, i contro

Tutto qui? Forse sì. Le voci critiche sulla pura memorizzazione in matematica sono tante, visto che la matematica è la disciplina del ragionamento e che non c’è peggior cosa che imparare a memoria una dimostrazione… Personalmente sono contraria alla memorizzazione dei valori di seno e coseno degli angoli noti (30, 60 gradi…) perché si ha sempre il 50% di probabilità di sbagliare: basta visualizzare il triangolo rettangolo (che è metà di un triangolo equilatero) e capire quale cateto è “metà della base” e quale “altezza” del triangolo equilatero. No, per lo stesso motivo, a imparare a memoria il fattore di moltiplicazione per passare dai km/h ai m/s e viceversa, visto che basta fare la trasformazione sia a numeratore si a denominatore… E no anche alla troppa velocità durante le interrogazioni perché si dà l’impressione di aver studiato solo a memoria, mentre il più delle volte succede che lo studente è talmente preparato, ha talmente ripetuto a casa l’argomento che, sebbene lo abbia studiato capendolo, lo ha praticamente mandato a memoria! Ed è più facile ripetere a macchinetta un argomento ben noto che doverlo esporre con calma, giustificando ogni passaggio volta per volta.
In questa pagina web intitolata “Mnemotecniche: Servono in Matematica? ” si legge:
«In questo modo, può accadere che, invece di semplificare il compito, ci si complichi la vita, “raddoppiando il carico” da memorizzare: non solo tocca ricordare la formula, ma anche la “formula per ricordare la formula”. E così via all’infinito, triplicando, quadruplicando un carico già molto consistente. Dunque: quanto servono la memoria e le mnemotecniche per le formule di chimica, fisica, matematica?
Quello delle formule matematiche è un esempio in cui si rischia di sperimentare una sorta di “effetto paradosso” delle mnemotecniche, e cioè di dimenticare più facilmente, invece che memorizzare più velocemente.
E’ un esempio il cui le tecniche di memoria rischiano di distogliere l’attenzione dalla formula e di concentrarsi sul ricordarsela più che sul capirla. In questo modo, ci si allontana dalla funzione della formula, dai dati che richiede per essere applicata, dal tipo di problema che consente di risolvere. Si pensa solo a memorizzarla, ci si appiglia alla sua forma grafica per ricordarsela, e poi a chissà cos’altro per ricordarsi come ricordarsela, col rischio di dimenticarsela completamente o di non ricordarsela quando serve.
In sintesi, a forza di cercare e di applicare tecniche per memorizzarla meccanicamente, si trascurano tutti quegli aspetti funzionali necessari per ricordarla davvero. Ci si viene ad auto-privare di quella base di comprensione profonda, partecipe, attiva che è necessaria alla formula per accedere alla “memoria a lungo termine”(cioè per ricordarsela quantomeno per l’esame e per tutti gli esami successivi del corso di studi).
Le mnemotecniche sono dunque da dosare con estrema attenzione, come quei pharmacon dell’antica Grecia, quelle sostanze che in dosi minime, o “opportune”, sono salvifiche. Ma basta una dose in più, e diventano letali: da qui la doppia traduzione di pharmacon sia come “medicina” che come “veleno”. Allo stesso modo, le mnemotecniche possono anche diventare “oblio-tecniche”, producendo un effetto paradossale di far dimenticare più che far memorizzare.
Fossilizzandosi solo sull’operazione del memorizzare, si disperdono le energie per studiare, poiché si svolge un certo tipo di operazione (più meccanica), quando invece il compito ne richiede altre (più funzionali). Rinnegando così anche una preziosa capacità che si acquisisce con lo studio di materie scientifiche: quella di formalizzare la realtà in modo elegante e pulito, senza sbavature. Non esiste solo la “memoria”. Di fronte a una formula dunque, più che cercare, a valle, la tecnica per ricordarla, è utile ripensare, a monte, al proprio essere uno studente di discipline scientifiche, uno *scienziato*. Uno scienziato non è un “ricordatore di dati”, ma un *problem-solver*».

Idee per alcuni lavori a scuola

Resta il fatto che le mnemotecniche son un argomento interessante di per sé al punto che possono essere oggetto di progetti a scuola come il seguente dell’Istituto Tecnico Industriale di Nocera Inferiore (Sa), intitolato “Smart Memory-Tecniche di Apprendimento” che ha messo on line i risultati.

Anche una tesina o un percorso per l’esame di maturità possono avere per oggetto il tema della memoria e delle mnemotecniche.

Un esercizi da fare in classe potrebbe essere proprio quello di inventare una mnemotecnica per memorizzare una formula. Oppure anche come compito a casa: imparare a memoria una poesia matematica come quella che Tartaglia spedì a Cardano.

Concludo con un caso italiano, quello di Gianluigi Nalio, che ha inventato una gara matematica unica nel suo genere, il “numeri primi day”: riconoscere con un tempo di 3 secondi un numero dispari da un possibile numero primo compreso da 2 a 1000. Nalio ha una memoria eccezionale: conosce i numeri primi fino a 9.973 e 4.200 e ha vinto il pi greco Day al Politecnico di Torino lo scorso anno perché è riuscito a digitare 1480 cifre decimali di pi greco… Ecco una sua intervista recente.

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Il 21 marzo la “primavera dei matematici” è stata inaugurata quest’anno dal prestigioso Premio Abel, giunto alla sua decima edizione. Il vincitore è Endre Szemerédi dell’Istituto di matematica Alfréd Rényi di Budapest, che da universitario si era iscritto a Medicina ma poi era stato convinto a cambiare facoltà nientemeno che dal grandissimo matematico Paul Erdös.
La motivazione per il premio è la seguente: «per i suoi fondamentali contributi alla matematica discreta e all’informatica teorica e per il riconoscimento degli effetti profondi e duraturi di tali contributi sulla teoria additiva dei numeri e sulla teoria ergodica». Siccome la matematica discreta è poco insegnata alle superiori (per non parlare dell’informatica teorica! Che comunque forse è presente un po’ di più in certi indirizzi…) e anch’io la ho scoperta all’Università, fino a farla diventare parte integrante della mia tesi di laurea, affronterei l’argomento per parole d’ordine e nello specifico: matematica discreta, teoria additiva dei numeri, teoria ergodica, per finire con le biografie di Niels Henrik Abel e Paul Erdös.

Matematica discreta
Potremmo definire la matematica discreta come l’insieme complementare della matematica che si studia a scuola, che è fondamentalmente continua, se il mondo della matematica non fosse così vasto da impedirne una netta suddivisione in due parti. Leggiamo come la definisce Wikipedia, per seguire una volta tanto la fonte più accreditata e seguita dai nostri studenti : «Matematica discreta, alle volte chiamata matematica finita (che è propriamente solo una sua parte), è lo studio di strutture matematiche che sono fondamentalmente discrete, nel senso che non supportano o richiedono il concetto di continuità. La maggior parte, se non tutti, gli oggetti studiati nelle matematica discreta sono insiemi numerabili come gli interi. La matematica discreta è diventata famosa negli ultimi decenni per le sue applicazioni in informatica. I concetti e le notazioni della matematica discreta sono utili per lo studio o la modellazione di oggetti o problemi negli algoritmi informatici e nei linguaggi di programmazione. Per i concetti opposti, vedere continuo, topologia, e analisi matematica». Insomma, un po’ come la luce può essere descritta dal modello continuo delle onde oppure dal modello discreto delle particelle, anche in matematica è possibile affrontare i problemi da questi due punti di vista (anche se esistono già casi “misti” come ad esempio gli automi cellulari a stati continui, ma non voglio divagare troppo).
Il materiale didattico reperibile on line è quasi tutto di livello universitario, ma alcune dispense possono essere utili anche per le scuole superiori; vi consiglio quelle a cura di Alberto Alban e Marco Burzio (soprattutto il capitolo sulle equazioni ricorsive) e i quaderni didattici di Daniela Romagnoli, tutti del Dipartimento di Matematica dell’Università di Torino. La pagina del prof. F. Mora del Corso di Laurea in Informatica dell’Università di Genova, intitolata “Esercitazioni di matematica discreta” contiene molti esercizi, come per esempio quelli sulla matematica modulare.
L’Università dell’Insubria di Como propone uno stage estivo gratuito dal 18 al 29 giugno 2012 per gli studenti di scuola secondaria che hanno appena concluso la classe quarta, sull’argomento “Matematica discreta e applicazioni”: potete iscrivervi fino al 25 maggio 2012.

Teoria additiva dei numeri
È quella parte della teoria dei numeri che comprende la famosa congettura di Goldbach (quella del romanzo di Doxiadis Apostolos) così come il teorema di Hardy e Ramanujan… Una lettura interessante è l’articolo “Dall’Aritmetica di Peano all’Aritmetica di Robinson: numeri e polinomi per una riflessione didattica” di Giorgio T. Bagni del Dipartimento di Matematica e Informatica dell’ Università di Udine.

Teoria ergodica
«La teoria ergodica è un ramo della matematica, oggi molto sviluppato e a sua volta ben ramificato, il cui inizio si fa comunemente risalire ai lavori di Von Neuman e Birkhoff, verso la fine degli anni ‘20. Le motivazioni e alcune idee di fondo provengono tuttavia da Boltzmann e Gibbs, fondatori assieme a Maxwell della meccanica statistica, che in diverso modo introdussero la nozione fondamentale di insieme statistico (ensemble; una probabilità in un opportuno spazio delle fasi) per descrivere lo stato macroscopico di un sistema a molti gradi di libertà» come si legge in Introduzione alla teoria ergodica di G. Benettin del Dipartimento di Matematica dell’università di Padova. Siamo nel campo quindi dello studio dei sistemi dinamici (come quelli studiati a scuola in termodinamica).

Nell’ articolo pubblicato su Le Scienze dedicato al Premio assegnato a Szemerédi, si sottolinea proprio la caratteristica del suo lavoro di aver creato «profonde connessioni tra campi apparentemente diversi che esso rende spesso evidenti». Collegamenti dunque fra la teoria dei numeri e le reti informatiche o i sistemi dinamici.
Finisco con una brevissima nota storica su Abel ed Erdös, nomi che dovrebbero poter rimanere nei cuori dei nostri studenti, come quelli di Boltzmann, Galileo o Galois… (la lista è lunga!)
La vita del matematico norvegese Niels Henrik Abel (1802-1829) fu un continuo scontrarsi contro la cattiva sorte: nato da una famiglia povera, tentò invano di intraprendere la carriera universitaria, dopo aver brillantemente conseguito la laurea in un solo un anno. Ottenne finalmente una borsa di studio per l’Europa e a Parigi cercò (senza alcun risultato) di pubblicare le notevoli scoperte matematiche che intanto stava conseguendo e che continuò – fino alla fine e nonostante tutto – a ideare con grande creatività. I motivi per i quali i fondamentali articoli di Abel passarono sotto silenzio hanno dell’incredibile: i primi furono pubblicati, ma non furono letti da nessuno perché erano scritti in norvegese e i matematici europei comunicavano solo in francese e tedesco. Pare poi che Gauss, uno dei maggiori matematici del mondo, non avesse neppure aperto la busta speditagli da Abel, rimasta intatta nascosta in una pila di materiale sulla sua scrivania…
Abel è ricordato per aver ottenuto una serie di risultati importantissimi per la matematica, come per esempio alcune sue soluzioni di integrali definiti, oppure come la dimostrazione che le equazioni di quinto grado non ammettono soluzioni. Tutti successi riconosciuti postumi. Sia durante la vita sia per quanto riguarda le sue opere quindi ci fu una coincidenza di difficoltà nel riuscire a farsi conoscere o soltanto a esistere in qualità di ricercatore riconosciuto e di testo scientifico.
[per saperne di più potete leggere tutto l’articolo che ho riportato in parte qui]

«Paul Erdös, morto nel 1996 a Varsavia, era nato a Budapest nel 1913, da genitori ebrei, entrambi insegnanti di matematica. Aveva dimostrato la sua vocazione matematica già a tre anni, riuscendo a calcolare, come amava egli stesso ricordare, 100 meno 250, e scoprendo in tal modo, senza alcun aiuto, i numeri negativi. […] A vent’anni si fece notare nell’ambiente matematico con una semplice ed elegante dimostrazione che provava come tra ogni numero intero n, maggiore di 1, e il suo doppio 2n si trovasse almeno un numero primo». Continuate a leggere il bellissimo articolo di Federico Peiretti, sul sito Polymath di Torino.

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Eccoci arrivati anche quest’anno all’appuntamento del pi greco day. Ma anche del compleanno di Einstein, non dimentichiamocelo!!
Tante manifestazioni in tutto il mondo così come da noi, ovviamente: se la cercate, c’è la pagina su facebook …
A Genova, Matefitness ha organizzato addirittura una tre giorni e un concorso fotografico (con scadenza 13 aprile) che si intitola “La matematica in rosso” per “immortalare con uno scatto la matematica presente nel mondo che ci circonda”.

E se invece la costante più appropriata fosse non il pi greco ma il tau? Il fisico Michael Hartl sostiene infatti, nel suo “the tau manifesto” presentato sulla rivista Newscientist lo scorso anno, che da 300 anni a questa parte si sia per equivoco lasciato in un angolo il “povero” tau, che altro non è che il doppio di pi greco, cioè 6,28…. “Tau è il rapporto della circonferenza di un cerchio con il suo raggio, e questo numero ricorre con una frequenza incredibile nel mondo matematico” si legge in questo articolo.
Hartl sta già pensando al 28 giugno come tau day e io ho appena visto nel calendario dei Rudi Matematici che è anche il compleanno di Henri Leon Lebesgue (quello degli integrali, ma non solo)… Per rimanere aggiornati sugli sviluppi c’è il sito del tau day.

Vi lascio con una bella canzone di Kate Bush, oltre al link del sito del pi day dell’Exploratorium di San Francisco dal quale è nata l’idea.

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Ecco un mappa interattiva che userò sicuramente in classe. Sulla falsariga della mappa della metropolitana di Londra, l’autore Crispian Jago, un informatico inglese, ha ricostruito gli ultimi 500 anni di storia della scienza attraverso i nomi e le biografie dei suoi protagonisti.
Utilissima con la Lavagna Multimediale (Lim): basta un click e siamo sulla pagina di Wikipedia dello scienziato, oppure basta seguire una linea per avere un rapido quadro della scienza di un’epoca, per scoprire contemporaneità o per vedere come molti scienziati stavano allo stesso tempo su più linee scientifiche: Lagrange, ad esempio, è un “nodo metropolitano” nel quale confluiscono la linea blu di Matematica (e Informatica), la linea rossa di Fisica (e Meccanica Quantistica) e la linea bianca e rossa di Filosofia Naturale.
L’autore non si è occupato solo delle scienze “dure” ma anche di Microbiologia, Genetica, Fisiologia, Geologia e Paleontologia …
Inoltre ha raccolto anche i nomi di chi attualmente lavora nel campo della ricerca, come Stephen Hawking o Stephen Wolfram, per citarne solo due.

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