Linee di scienza

L’idea di parlare di matematica e memoria mi è venuta leggendo il breve ma utile testo del prof. Luigi La Gatta intitolato “Come studiare la matematica” e scaricabile direttamente a questo indirizzo. Sono solo cinque pagine, ma i consigli sono appropriati, vale la pena riportare il brano che ha come sottotitolo “L’importanza della memorizzazione”:

«Ci sono due tipi di memoria: la memoria concettuale, basata sulla comprensione ed interpretazione del testo studiato e la memoria ripetitiva, legata alla ripetizione meccanica di dati. Si possono suggerire all’alunno alcune mnemotecniche tenendo presente che ogni individuo può attivare uno dei seguenti tipi di memoria:
* visiva (tende a collegare i concetti alle immagini)
* uditiva (tende a ricordare parole e frasi ripetendole ad alta voce)
* motoria (tende a ricordare le informazioni collegandole ad azioni e movimenti compiuti)
Mnemotecnica dei loci: l’alunno può collegare i concetti ad un percorso a lui familiare. Se per andare a scuola con l’autobus fa tre fermate, ad ogni fermata può collegare un concetto in ordine logico. Difficilmente dimenticherà la successione dei concetti.
Mnemotecnica filmica: consiste in un libero gioco della fantasia perché l’alunno può arrivare a creare dei veri film, in cui ogni sequenza corrisponde al concetto da memorizzare».

(nell’immagine l’incisione “Promemoria -Pro/Memoria” di Antonio Papasso)

Esempi
Ma che cosa vale la pena di memorizzare in matematica? Sempre dal testo di La Gatta si trovano un “memorizzare le definizioni” e “memorizzare/applicare concetti e metodi”.
Per quanto riguarda la mia esperienza ho notato che sono soprattutto le formule ad aver bisogno di qualche aiuto per essere ricordate. Ecco alcuni esempi:

• le formule di addizione e sottrazione di seno e coseno cos (a+b) = (cos a cos b) – (sin a sin b) e sin (a+b) = (sin a cos b) + (cos a sin b) . Premesso che a lezione si ricavano con dimostrazione e quindi risultano giustificate, va detto anche che lo studente non può tutte le volte ricavarsele dall’inizio e che dunque deve in qualche modo ricordarsele. Io ho trovato questa osservazione: il coseno sia della somma sia della differenza ha come risultato le stesse funzioni goniometriche (“coseno coseno” e “seno seno”) e allora, se le lascia uguali, deve cambiare il segno fra di loro (quindi se si ha la somma degli angoli, si dovrà sottrarre il prodotto delle due funzioni). Invece la formula del seno della somma e differenza fra due angoli scambia fra loro seno e coseno (abbiamo infatti “seno coseno” e coseno seno”) e allora, visto che già cambia le funzioni, manterrà lo stesso segno fra di loro (quindi a somma di angoli corrisponde somma del prodotto delle due funzioni e a differenza la differenza). Insomma si lasciano i + e i meno così come sono se si scambiano seno e coseno e invece si cambiano i segni se si lasciano le stesse funzioni.
• I teoremi dei triangoli rettangoli coinvolgono gli angoli adiacenti ai cateti solo per le co-funzioni (quindi nel primo teorema avrò il coseno dell’angolo acuto adiacente al cateto e nel secondo teorema la cotangente; mentre per gli angoli opposti al cateto considerato avrò seno e tangente)
• La formula della derivata di una funzione fratta (N/D) per me è stato sempre un problema: addirittura durante lo scritto di un esame all’università avevo chiesto all’assistente se era la derivata del numeratore per il denominatore meno il numeratore per la derivata del denominatore o viceversa e lui mi aveva risposto che queste cose le dovevo sapere io!!!! Finalmente una mia studentessa di quinta mi ha suggerito un metodo di “simmetria visiva”, visto che prima viene il numeratore N e dopo il denominatore D, il numeratore della formula della derivata sarà N’ D – N D’ con le derivate N’ e D’ agli estremi. Il denominatore della formula invece è semplice perché è sempre il D alla seconda.
• Agli studenti che non si ricordano la seconda legge della dinamica F = ma dico di pensare a me: F(rancesca) = Ma (gni)
• La prima legge di Ohm è in “Vir” latino V = R i (lo sapevo che finivo per parlare anche di fisica…)
• Per ricordarsi la formula del volume della sfera c’è la filastrocca con rima “il volume della sfera qual è? Quattro terzi pi-greco erre tre”. In questa pagina web potete trovare molti altri trucchi mnemonici del genere (anche nelle altre lingue e per altre materie) così come in questa pagine di wikiquote dedicata alle mnemotecniche.

Dopo i pro, i contro

Tutto qui? Forse sì. Le voci critiche sulla pura memorizzazione in matematica sono tante, visto che la matematica è la disciplina del ragionamento e che non c’è peggior cosa che imparare a memoria una dimostrazione… Personalmente sono contraria alla memorizzazione dei valori di seno e coseno degli angoli noti (30, 60 gradi…) perché si ha sempre il 50% di probabilità di sbagliare: basta visualizzare il triangolo rettangolo (che è metà di un triangolo equilatero) e capire quale cateto è “metà della base” e quale “altezza” del triangolo equilatero. No, per lo stesso motivo, a imparare a memoria il fattore di moltiplicazione per passare dai km/h ai m/s e viceversa, visto che basta fare la trasformazione sia a numeratore si a denominatore… E no anche alla troppa velocità durante le interrogazioni perché si dà l’impressione di aver studiato solo a memoria, mentre il più delle volte succede che lo studente è talmente preparato, ha talmente ripetuto a casa l’argomento che, sebbene lo abbia studiato capendolo, lo ha praticamente mandato a memoria! Ed è più facile ripetere a macchinetta un argomento ben noto che doverlo esporre con calma, giustificando ogni passaggio volta per volta.
In questa pagina web intitolata “Mnemotecniche: Servono in Matematica? ” si legge:
«In questo modo, può accadere che, invece di semplificare il compito, ci si complichi la vita, “raddoppiando il carico” da memorizzare: non solo tocca ricordare la formula, ma anche la “formula per ricordare la formula”. E così via all’infinito, triplicando, quadruplicando un carico già molto consistente. Dunque: quanto servono la memoria e le mnemotecniche per le formule di chimica, fisica, matematica?
Quello delle formule matematiche è un esempio in cui si rischia di sperimentare una sorta di “effetto paradosso” delle mnemotecniche, e cioè di dimenticare più facilmente, invece che memorizzare più velocemente.
E’ un esempio il cui le tecniche di memoria rischiano di distogliere l’attenzione dalla formula e di concentrarsi sul ricordarsela più che sul capirla. In questo modo, ci si allontana dalla funzione della formula, dai dati che richiede per essere applicata, dal tipo di problema che consente di risolvere. Si pensa solo a memorizzarla, ci si appiglia alla sua forma grafica per ricordarsela, e poi a chissà cos’altro per ricordarsi come ricordarsela, col rischio di dimenticarsela completamente o di non ricordarsela quando serve.
In sintesi, a forza di cercare e di applicare tecniche per memorizzarla meccanicamente, si trascurano tutti quegli aspetti funzionali necessari per ricordarla davvero. Ci si viene ad auto-privare di quella base di comprensione profonda, partecipe, attiva che è necessaria alla formula per accedere alla “memoria a lungo termine”(cioè per ricordarsela quantomeno per l’esame e per tutti gli esami successivi del corso di studi).
Le mnemotecniche sono dunque da dosare con estrema attenzione, come quei pharmacon dell’antica Grecia, quelle sostanze che in dosi minime, o “opportune”, sono salvifiche. Ma basta una dose in più, e diventano letali: da qui la doppia traduzione di pharmacon sia come “medicina” che come “veleno”. Allo stesso modo, le mnemotecniche possono anche diventare “oblio-tecniche”, producendo un effetto paradossale di far dimenticare più che far memorizzare.
Fossilizzandosi solo sull’operazione del memorizzare, si disperdono le energie per studiare, poiché si svolge un certo tipo di operazione (più meccanica), quando invece il compito ne richiede altre (più funzionali). Rinnegando così anche una preziosa capacità che si acquisisce con lo studio di materie scientifiche: quella di formalizzare la realtà in modo elegante e pulito, senza sbavature. Non esiste solo la “memoria”. Di fronte a una formula dunque, più che cercare, a valle, la tecnica per ricordarla, è utile ripensare, a monte, al proprio essere uno studente di discipline scientifiche, uno *scienziato*. Uno scienziato non è un “ricordatore di dati”, ma un *problem-solver*».

Idee per alcuni lavori a scuola

Resta il fatto che le mnemotecniche son un argomento interessante di per sé al punto che possono essere oggetto di progetti a scuola come il seguente dell’Istituto Tecnico Industriale di Nocera Inferiore (Sa), intitolato “Smart Memory-Tecniche di Apprendimento” che ha messo on line i risultati.

Anche una tesina o un percorso per l’esame di maturità possono avere per oggetto il tema della memoria e delle mnemotecniche.

Un esercizi da fare in classe potrebbe essere proprio quello di inventare una mnemotecnica per memorizzare una formula. Oppure anche come compito a casa: imparare a memoria una poesia matematica come quella che Tartaglia spedì a Cardano.

Concludo con un caso italiano, quello di Gianluigi Nalio, che ha inventato una gara matematica unica nel suo genere, il “numeri primi day”: riconoscere con un tempo di 3 secondi un numero dispari da un possibile numero primo compreso da 2 a 1000. Nalio ha una memoria eccezionale: conosce i numeri primi fino a 9.973 e 4.200 e ha vinto il pi greco Day al Politecnico di Torino lo scorso anno perché è riuscito a digitare 1480 cifre decimali di pi greco… Ecco una sua intervista recente.

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Il 4 luglio scorso, proprio durante gli esami orali di quinta è uscita la grande notizia della prima rilevazione sperimentale del bosone di Higgs al Cern di Ginevra. Previsto a livello teorico nel 1964 dal fisico britannico Peter Higgs, il bosone è stato trovato da ben due esperimenti dell’Lhc (il Large Hadronic Collider) coordinati rispettivamente da Joe Incandela (esperimento Cms) e da Fabiola Gianotti (per Atlas).
Per avere la conferma definitiva dall’analisi dati di tutti i risultati sperimentali si dovrà aspettare fino a marzo 2013, però sto già pensando a come e quando parlarne in classe quest’anno, insieme a qualche esercizio.

1. La massa

Quando parlerò di massa, mi conviene impostare la lezione dicendo che forse il grande mistero della massa gravitazionale è stato svelato. Secondo il modello standard delle particelle elementari infatti, il bosone di Higgs sarebbe il responsabile di quella proprietà intrinseca dei corpi che chiamiamo “massa gravitazionale” e che fa sì che si attraggano l’un l’altro. Tutte le particelle dotate di massa subiscono forze di attrazione reciproca perché – dice la teoria del modello standard – si scambiano un tipo di particella, detta bosone di gauge, in maniera analoga allo scambio di fotoni che genera la forza elettromagnetica, a quello dei gluoni per la forza nucleare forte e dei bosoni W e Z per la forza nucleare debole. Il bosone di Higgs sarebbe la particella che si scambiano i bosoni di gauge per originare la propria stessa massa: insomma è la particella “finale” che dà ragione dell’attrazione gravitazionale di tutto il resto.

Esercizi:

1) Un esercizio qualitativo, da realizzare in maniera grafica (magari con prezi, che permette di ottenere zoom ogni genere) potrebbe essere quello di rappresentare la “riduzione delle forze fondamentali all’interazione di particelle”: forza elettromagnetica – scambio di fotoni, forza nucleare forte – gluoni e così via. Nello schema dinamico si potrebbero inserire anche elementi di testo che spiegano la natura di ogni interazione in modo tale da avere un quadro sintetico dell’argomento.

2) Per far luce sul problema della massa si può partire dalla lettura dell’articolo che avevo già segnalato qualche anno fa “Breve storia della massa” del professor Pasquale Tucci, che sottolinea la sostanziale differenza concettuale fra massa inerziale e massa gravitazionale. Si può poi realizzare in laboratorio una prova, misurando la massa sia in maniera dinamica (con un esperimento) sia in maniera gravitazionale (con la bilancia). Può essere utile l’articolo on line di Walter Bich dell’Inrim “Come si misura la massa” per la massa gravitazionale e la pagina web sulla massa inerziale a cura dell’ Infn di Bari, che contiene anche un’applet interattiva per spiegare il metodo di misura della massa tramite il rapporto delle velocità di due carrellini dopo l’urto.

Molto interessante anche il metodo proposto da Giacomo Torzo e Barbara Pecori dell’Infm di Padova per misurare la massa inerziale e gravitazionale tramite i rimbalzi di un pallone (lo trovate a questo indirizzo).

L’articolo di Tucci si conclude così: «Il Modello Standard delle particelle elementari dà conto dell’origine della massa in maniera nuova e coerente. La massa, infatti, nascerebbe dall’interazione delle particelle con un campo quantomeccanico, il campo di Higgs; per confermare questa interpretazione sembrerebbe mancare all’appello solo un tassello: la particella associata all’omonimo campo, il bosone Higgs».
Un altro modo per introdurre la notizia quindi è quello di parlarne quando si affronta il concetto di campo, come modificazione delle proprietà dello spazio.

2. Il campo

Nel blog Keplero di Amedeo Balbi, astrofisico e ricercatore del Dipartimento di Fisica dell’Università Tor Vergata di Roma, si legge: «La modifica al modello elettrodebole proposta da Salam e Weinberg, e basata sul meccanismo di Higgs, prevede l’introduzione di un nuovo campo fondamentale che pervade tutto lo spazio: il campo di Higgs, a cui è associata una nuova particella, il bosone di Higgs (un po’ come al campo elettromagnetico è associato il fotone). È proprio il campo di Higgs a fornire la chiave per la rottura di simmetria dell’interazione elettrodebole e a spiegare perché le particelle hanno massa. Ad alte energie (come quelle presenti nell’universo primordiale) il campo di Higgs è simmetrico, l’interazione elettromagnetica e quella debole sono unificate, e tanto i bosoni W e Z che il fotone sono privi di massa. A basse energie (come quelle dell’universo attuale) non soltanto l’interazione elettromagnetica e l’interazione debole appaiono distinte, ma si altera anche la simmetria del campo di Higgs: ed è così, attraverso l’interazione con il campo di Higgs non più simmetrico, che i bosoni W e Z acquistano una massa, mentre il fotone ne resta privo».

La prima attività che mi “sorge spontanea” è proprio quella di assegnare la lettura del post di Balbi a qualche studente volenteroso che poi lo relazioni a tutta la classe in un breve seminario, anche per svelare e spiegare il nuovo concetto di “rottura di simmetria”. Balbi è un ottimo divulgatore, gli studenti non dovrebbero avere problemi nel leggerlo.
Apro una piccola parentesi sulla utilità di simili operazioni didattiche: ho provato in prima persona solo all’Università il valore e la soddisfazione di presentare un seminario ai miei colleghi e studenti. La prima volta è stato in occasione dell’esame di quarto anno di “Teoria dei sistemi” del professor Mussio: prima di sostenere l’esame abbiamo dovuto relazionare in classe un articolo; nello specifico era un articolo di Francisco Varela su Automi cellulari e sistema immunitario! Eravamo in tre e ci siamo divisi il compito: ho lavorato giorni e giorni per cercare di capire ogni singolo passaggio e poi per cercare di esporlo nella maniera più concisa e comprensibile: alla fine è stata un’esperienza faticosa ma molto gratificante (abbiamo anche realizzato al computer una simulazione, insomma proprio un bel lavoro dal punto di vista pedagogico e scientifico). Durante la stesura della mia tesi di Laurea ho lavorato alcuni mesi al Dipartimento di Informatica del prof. Gianpiero Cattaneo che ogni giovedì o venerdì pomeriggio (la memoria non mia aiuta, è passato un bel po’ di tempo!) ci faceva esporre gli articoli più recenti che riguardavano il campo di ricerca del quale ci occupavamo. Ci si riuniva tutti in una saletta e poi si discuteva sulle idee esposte nell’articolo. Anche al Master in Comunicazione della Scienza della Sissa di Trieste, durante il corso di neuroscienze, insieme al mio gruppo di tre o quattro persone, abbiamo dovuto leggere, capire ed esporre un articolo scientifico recente che parlava del meccanismo delle sinapsi neuronali.
Da anni nelle mie classi sperimento il cosiddetto “approfondimento” durante le interrogazioni. Di solito concludo l’interrogazione di Fisica e di Matematica con la classica “domanda nuova” (altrimenti i 10 come li do? ) ma se lo studente vuole, può in alternativa, preparare un approfondimento a casa su un argomento a scelta e poi esporlo ai suoi compagni. Ci vorrebbero pagine e pagine per raccontarvi tutti i seminari tenuti dai ragazzi, è un’esperienza che consiglio a tutti i colleghi: molte volte gli studenti decidono di spiegare loro l’argomento! Dai logaritmi ai teoremi di trigonometria… e io imparo nuovi approcci e spunti per le mie spiegazioni future. Ho anche un bellissimo power point con gif animate di un approfondimento sulle onde di una mia studentessa di qualche anno fa, che ripropongo agli studenti delle classi successive, sottolineando che è lei l’autrice, senza dimenticarmi di ringraziarla ogni volta!

3. La statistica

Nella recente intervista del 24 settembre, tenuta allo science center “Città della scienza” di Napoli, Fabiola Gianotti, parlando del bosone di Higgs afferma «se ne produce uno ogni dieci mila miliardi di collisioni di protoni» e «l’evidenza si è stabilizzata intorno ai 5 sigma». Quale modo migliore quindi di applicare la Teoria degli errori quest’anno con un esercizio proprio sui dati del Cern? Eccolo qui: “La massa del bosone di Higgs è risultata essere 125 GeV con un errore di 0,6 GeV (nel caso dell’esperimento Cms). Calcolare errore relativo e percentuale e costruire il grafico della distribuzione normale di Gauss.”
Consiglio di collegarsi con la spiegazione di Peppe Liberti su Focus del 12 gennaio, sul significato della deviazione standard (la sigma) e del suo ruolo nell’attribuire la significatività o evidenza sperimentale e anche di leggere questo articolo di Evelyn Lamb pubblicato su Le Scienze del 23 luglio, che mostra anche il grafico della distribuzione gaussiana dei dati.
Il gruppo dell’esperimento Cms del Cern ha reso inoltre disponibile on line per le scuole alcune serie di dati sperimentali sui quali è possibile fare l’analisi statistica con il normale foglio elettronico. Il gruppo di Atlas ha una pagina web dedicata a insegnanti e studenti nella quale trovare ulteriori idee e materiali (io ovviamente sono andata subito sulla pagina dei fumetti: http://atlas.ch/comics1.html)

E per finire un gioco interattivo concepito per gli studenti e realizzato sempre al Cern di Ginevra, che ci fa entrare nella sala di controllo degli esperimenti e ci insegna a farli partire: buon lavoro!

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Non sapevo come intitolare questo post… Voglio parlare della notizia che è uscita su tutti i giornali dello studente di sedici anni che ha risolto un problema di balistica. Ne voglio parlare però dal mio punto di vista, di insegnante di quelle materie in una scuola secondaria superiore. Perché il punto di vista dei giornalisti si è rivelato il solito “al lupo al lupo” senza consistenza (dagli articoli su Repubblica e Corriere della Sera non si capiva nulla, tutto era vago tranne il tono, da notizia sensazionale che cambia il mondo della scienza e che invece non cambia nulla) e perché il punto di vista dei matematici e di chi se ne intende è già stato scritto in questo articolo molto interessante di Roberto Natalini. Lì ho potuto finalmente capire quale era il problema in questione: un proiettile puntiforme che si muove soggetto a due tipi di forze opposte, quella di gravità e quella di attrito viscoso dell’aria in regime turbolento, che è una forza direttamente proporzionale al quadrato del modulo della velocità del proiettile. Di solito a scuola studiamo l’attrito senza turbolenze, quindi la forza è direttamente proporzionale alla velocità per la legge di Stokes. La difficoltà rispetto ai programmi di scuola superiore è il fatto che il regime turbolento implica la risoluzione di equazioni differenziali non lineari. Ma anche il fatto che a sedici anni gli studenti italiani sono in seconda liceo e non hanno ancora affrontato in programma le derivate, tantomeno le equazioni differenziali. Quindi non hanno gli strumenti matematici per risolvere tali questioni. Il problema risolto dallo studente Shourryya Ray è un esercizio di meccanica razionale, che è un esame del primo anno di università. Che pare inoltre non abbia affatto attanagliato gli scienziati per 350 anni come sostengono i quotidiani.

La domanda che mi pongo è quindi sui programmi: dobbiamo anticipare le derivate e gli integrali già al biennio?
Penso a Enrico Fermi che a quattordici anni volendo capire come funzionasse la trottola, si fece prestare da un amico di famiglia un libro di Analisi Matematica…
Insomma, se le equazioni differenziali sono così importanti e utili, perché non le introduciamo già all’inizio? Bisognerebbe aumentare le ore di lezione, ovviamente.

Se per avere studenti “geniali” bisogna vincolarli a studiare da soli metodi matematici avanzati, mi sembra che il loro “successo” sia un po’ falsato. Potremmo invece affrontarli come corsi di approfondimento e farli diventare parte integrante dell’attività didattica.
Quello che vedo si sta facendo adesso a scuola sono i cosiddetti corsi di orientamento universitario, durante i quali alcuni studenti possono seguire lezioni al pomeriggio e anche stage estivi, che solitamente sono rivolti agli studenti di quarta liceo. Penso al corso sui sistemi caotici proposto annualmente nel mio liceo, che comunque ha lasciato alcuni miei studenti con un po’ di dubbi quando il docente universitario è andato nei particolari delle funzioni ricorsive e si è addentrato nel formalismo matematico… insomma una specie di “assaggio” di quello che poi incontreranno all’Università.

Quello che ho trovato esaltante in tutta questa “faccenda” giornalistica è il fatto che i risultati matematici nuovi possano sorgere anche da studenti liceali, insomma l’idea che si possa fare ricerca anche nella scuola secondaria superiore. Ecco, anche su questo dovremmo puntare noi docenti. Trovare problemi nuovi ancora irrisolti da proporre agli studenti, oppure cercare campi di ricerca nei quali poter contribuire grazie all’impegno e alla creatività dei nostri studenti.
Mi è piaciuto molto il progetto di matematica sperimentale sulla formazione dei nodi della Aston Universiy di Birmingham e l’anno scorso lo ho proposto in una mia classe. Oppure ricordo una tesina originale all’esame di maturità scientifica che una mia studentessa ha realizzato sul gioco Vita di Conway, dove la riproduzione avveniva in maniera sessuata (l’articolo è stato pubblicato su Ulisse e anche sulla rivista Alice&Bob). Insomma, cercare di fare veramente matematica e ricerca e non solo addestramento alle usuali tecniche di risoluzione e storia della matematica. Un po’ come far comporre musica nuova e non solo formare bravi esecutori di brani altrui o bravi futuri musicisti.
Anche le Olimpiadi di Matematica e Fisica, per esempio, oltre ad essere quiz ed esercizi che provano la capacità risolutiva in breve tempo, potrebbero proporre agli studenti di lavorare su progetti di ricerca che richiedono anche mesi di applicazione, magari sotto forma di premi e di “sfide” come succede nel mondo reale della ricerca.
A proposito: vi segnalo due nuovi Polymath problem, che sono dei progetti collettivi on line aperti a tutti.

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Mi ricollego al discorso molto interessante di Barbara Scapellato sull’utilità di raccontare storie di scienza in classe e soprattutto del fatto che bastano solo 15 minuti. È vero, non si “perde” troppo tempo e si guadagna molto sia in termini di possibile aumento di interesse e motivazione da parte degli studenti sia della loro percezione del mondo della scienza, per avvicinarli di più alla “realtà” sociale, psicologica, storica e metodologica dei processi scientifici.

In questi anni ho raccolto alcune esperienze di lettura in classe, anche se sono state proprio sporadiche, purtroppo… vedrò di renderle invece una buona pratica d’ora in poi! I buoni propositi sono una delle caratteristiche vincenti del lavoro dell’insegnante, no?   Affiancherò così le letture in classe con quelle a casa (perché la lettura è anche un momento intimo irrinunciabile) insieme agli altri “esperimenti culturali” quali la visione di spettacoli a tema scientifico, di film interi o di brevi spezzoni video e le visite alle mostre interattive e agli science center, ecc. ecc.

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Leggere in classe a volte è un successo insperato a volte un fallimento totale, dipende dalle classi (?) dal momento, dal tipo di libro (?), dalla giornata (?), chi lo sa! Parto con i fallimenti, o almeno quelle che a me sono sembrate esperienze di lettura fallimentari. L’idea era bellissima e infatti la abbiamo realizzata l’anno scorso in una calda giornata di maggio o aprile e le ultime due ore (dalle 12 alle 14) siamo andate ai giardinetti a fianco della nostra scuola (dove c’è anche il campo sportivo) per un “pic nic della fisica”: abbiamo mangiato e chiacchierato, insomma tutto bene. Poi avevo annunciato che avrei letto qualcosa da I dieci esperimenti più belli, mancavano venti minuti alla fine delle lezioni e così ci siamo sedute all’ombra sulle sedie di plastica messe ad anfiteatro. Ho iniziato a leggere ma tre ragazze hanno incominciato ad agitarsi a ridere con piccoli urli… insomma pare che fossero attaccate da insetti, da piccole mosche che le mordevano e le disturbavano irrimediabilmente. Non c’è stato nulla da fare, le altre compagne erano abbastanza irritate nei loro confronti, le guardavano male e allora io per non creare inutili inimicizie ho interrotto la lettura. Purtroppo a volte bastano anche poche persone a rovinare il clima, soprattutto quando le classi sono numerose e ormai ho tutte classi da 30 studenti, più o meno. Il numero elevato è sicuramente un problema, ne sperimento ogni giorno le difficoltà. Anche l’età forse conta, ma la classe in questione era un quarta (liceo indirizzo sociopsicopedagogico), con anche studenti maggiorenni. Non mi andava di rimproverarle, di obbligarle ad ascoltare, mi sembrava paradossale! Doveva essere un momento di piacere e non di obbligo, si doveva instaurare la “magia dell’ascolto” e se ciò non è successo tanto vale accettare la sconfitta, anche se riguardava solo tre alunne e tutte le altre invece sembravano interessate. Forse ho scelto il momento sbagliato e avrei dovuto iniziare il pic nic con la lettura e non finirlo, chi lo sa… quest’anno magari provo così, se avrò l’occasione di fare un altro pic nic.
Un secondo momento “fallimentare” riguarda però un unico studente di qualche anno fa (sempre in una quarta liceo ma di indirizzo scientifico, quindi con ragazzi abbastanza grandi). Di solito faccio leggere in classe dai ragazzi Il Copernico di Leopardi anche perché la parte del sole è divertente (va interpretata in maniera molto svogliata, con il sole che si rifiuta di muoversi…) e anche quelle delle ore del giorno è curiosa, insomma parliamo di Leopardi: il dialogo è un piccolo capolavoro della letteratura italiana! Lo ho fatto interpretare anche in un incontro di quest’anno su letteratura e scienza all’Università della Terza età e ovviamente ci siamo molto divertiti e ne abbiamo discusso. Tornando alla lettura in classe, mi sono accorta che nel mentre un ragazzo non guardava i compagni che leggevano ad alta voce ma aveva il capo chino sul libro di Chimica… non lo ho ripreso perché mi sono accorta che teneva il libro aperto sul banco in maniera provocatoria, proprio per incitare un mio richiamo, una sfida che mi sono ben guardata di raccogliere. “Se non vuoi ascoltare è un problema tuo” ho pensato guardandolo. Lui ha visto che lo guardavo e ha continuato a ripassare Chimica. I compagni vicini si sono accorti e penso si siano vergognati per lui perché hanno continuato ad ascoltare il dialogo ignorandolo.

In una classe prima invece quest’anno ho ripreso subito chi faceva tutt’altro invece di ascoltare la lettura. Insomma, dipende dalle situazioni: da ragazzi di quarta liceo mi aspetto un atteggiamento più consapevole mentre a quelli di prima mi sento di doverglielo ancora “insegnare” anche perché sono molto più irrequieti e vedono tutto quello che non è lezione “convenzionale” come un momento per fare altro (tanto poi non interrogo su quello che si legge, no? E poi siamo nell’ora di matematica e non in quella di italiano, no?).

Visto che ho parlato della classe prima (indirizzo linguistico, ebbene sì le mie cattedre sono molto varie! Il mio Istituto ha molti indirizzi e mi sembra comunque una ricchezza…), continuo: quest’anno a settembre ho dato loro da leggere a casa Il meraviglioso mondo dei numeri di Alex Bellos con la scadenza per la lettura le vacanze di Pasqua. Il programma di prima inizia con i numeri, allora ho preparato una lezione con la Lim con un po’ di storia della matematica e abbiamo letto in classe l’introduzione da Il libro dei numeri di Conway e Guy. Ogni studente leggeva un paragrafo dedicato a un numero e alla sua etimologia e poi si decideva insieme quale delle tantissime informazioni lette “conservare” annotandola a turno sulla Lim; è stato molto interessante: a un certo punto abbiamo deciso di scrivere noi altre parole che etimologicamente nascevano da ogni numero…
Un altro successo di lettura è quando in occasione del pigreco day si legge in classe la poesia di Wislawa Szymborska: ho degli studenti che partecipano al laboratorio teatrale della nostra scuola e che leggono sempre con molta cura la poesia.

Alla fine dell’anno scorso quando ho assegnato i compiti di Fisica per le vacanze estive nella prima scientifico è stato molto bello osservare come è cambiato l’atteggiamento degli studenti alla notizia che davo loro da leggere un libro! Dividerei il processo nelle seguenti fasi:
1) reazione alla notizia: esclamazioni del tipo “O noo” con espressioni stupite/incredule/disperate quasi sotto shock. Mi chiedono subito “di quante pagine?”
2) quando faccio passare i libri fra i banchi (dovevano scegliere un libro da leggere fra La fisica del Miao e La fisica del bau di Monica Marelli) espressioni positivamente stupite “ehi!” notano le figure, le descrizioni degli esperimenti ecc.
3) Mi chiedono “possiamo rifare gli esperimenti?” e io rispondo “sì, certo” ecc.
4) Inizio a leggere un capitolo: ascoltano, si divertono, mi guardano sorridendo. “In fondo non è così terribile” sono tutti rincuorati.

L’episodio di successo che ricordo con maggiore vividezza è la lettura del primo capitolo di Lo stano caso del cane ucciso a mezzanotte sempre alla fine dell’anno e sempre in previsione di un compito di lettura per le vacanze estive (era una classe di terza liceo delle scienza sociali). A leggere è stata una studentessa seduta sulla cattedra. Fin dalle prime frasi è calato subito il silenzio. Finito il primo capitolo io volevo interrompere la lettura, ma loro hanno voluto leggere anche il capitolo successivo!! Alla fine purtroppo è suonata la campanella.

Concludo con un interrogativo per me ancora irrisolto. È già capitato due volte che in classe uno studente mi abbia detto che ha letto il romanzo La solitudine dei numeri primi che io non ho particolarmente apprezzato; la prima volta la studentessa mi ha detto che il libro la aveva innervosita e io, capendola in pieno, ho annuito. La seconda volta però è successo quest’anno nella quarta scientifico e più di una studentessa mi ha detto che lo aveva letto e che le era piaciuto tantissimo. Ecco, la mia reazione è stata titubante, ho detto “davvero? E perché” ma poi il discorso è finito lì… Il problema è “come parlarne in classe?”, come condurre una discussione sia sul piano letterario sia su quello scientifico? Forse non dovrei esserci solo io, avrei bisogno dell’aiuto dei colleghi umanisti. Finché ci si ferma alla lettura in classe tutto può funzionare o meno, ma quando assegno i libri da leggere a casa, come posso “sfruttarli” in classe? Sono anni che assegno da leggere i libri a casa “e basta” al massimo chiedo se è piaciuto… ho sperimentato solo le seguenti “ricadute didattiche”
1) gli studenti preparano un approfondimento sul libro letto (Matematica mio terrore o Flatlandia o La fisica delle ragazze o La fisica della domenica…) al posto della domanda nuova nell’interrogazione e così poi io assegno il voto a tutta l’interrogazione (anche oggi in quarta psicopedagogico ho interrogato e gli approfondimenti erano sulla catarifrangenza e sulla iridescenza, tratti dai libri della Marelli)
2) durante le vacanze estive, dopo aver letto il libro, “lo studente dovrà esercitare la propria creatività per comunicare al resto della classe a settembre un argomento trattato nel libro. Potrà realizzare una presentazione in power point oppure un video o una fotografia con didascalia oppure una recensione o potrà scrivere una poesia, un racconto, un fumetto, un dialogo… si potrà inventare un esperimento… potrà realizzare una breve lezione ecc… L’importante è che il lavoro sia accurato dal punto di vista scientifico e originale”. Come ho scritto nel programma di fine anno della prima scientifico dell’anno scorso. Hanno realizzato esperimenti, presentazioni in power point, relazioni cartaceee e video molto belli

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Sul sito Maddmaths a cura del gruppo Simai-Dma (Divulgazione Matematica Applicata), Roberto Natalini ha tradotto un articolo molto interessante – passato quasi in sordina in Italia – pubblicato in agosto dal New York Times. Gli autori dell’articolo sono Sol Garfunkel, direttore del Consortium for Mathematics and Its Applications e David Mumford, medaglia Fields, professore emerito di matematica alla Brown University. Il titolo, che punta dritto al cuore del problema, è “Come far funzionare l’insegnamento della matematica” e l’articolo nasce per porre rimedio agli scarsi risultati in vari test internazionali, ottenuti dagli studenti americani delle scuole superiori. Insomma, l’insegnamento così come è adesso sembra non funzionare più o almeno non abbastanza.
L’articolo è breve e diretto, pone l’accento sulla necessità di una «alfabetizzazione quantitativa» come la definiscono gli autori «ossia l’abilità di fare connessioni quantitative ogni volta che la vita lo richieda» e propone «di sostituire la successione di algebra, geometria e analisi, con una composta da finanza, dati numerici e ingegneria di base».
La prima cosa che ho pensato (e che ho ritrovato anche in uno dei commenti all’articolo) è che in Italia alcuni indirizzi di scuole superiori hanno già una differenziazione finanziaria o applicata per quanto riguarda lo studio della matematica. Si tratterebbe forse di estendere questi insegnamenti a tutti gli indirizzi e cioè di ripensare i curricola in termini di matematica applicata. Sono d’accordo con Natalini che in un commento scrive «l’idea che la matematica possa essere insegnata a partire dalle “motivazioni” (= cosa ha portato a sviluppare una certa matematica) e non dai risultati finali, a me sembra interessante» ma anche con Antonietta Fadda che esprime alcune perplessità e nel suo commento conclude: «C’è chi seguendo Hardy ne apprezza esclusivamente l’estetica e la sua struttura teorica, c’è chi la ritiene interessante soltanto nella misura in cui è utile nella pratica.
A me non piacciono le divisioni manichee: le due anime della matematica convivono e non sono necessariamente in opposizione tra loro. Di volta in volta si può far riferimento all’uno o all’altro dei due aspetti a seconda dei casi. Ciò vale anche per il suo insegnamento nella scuola».
Una via per conciliare entrambe le esigenze (la necessità del ragionamento deduttivo e astratto insieme a quella di capirne in senso e la motivazione anche in termini pratici) potrebbe essere la interdisciplinarietà e cioè un lavoro didattico che intersechi l’approccio dell’insegnante di matematica con quello di biologia o di fisica o di arte… con ore in compresenza e magari l’ausilio di strumenti informatici (Lim compresa).

Materiali per una discussione in classe, link ed esercizi

Ottimo anche per l’orientamento in uscita, il seguente video di presentazione del laboratorio Mox di Alfio Quarteroni, professore e direttore del “Chair of Modelling and Scientific Computing” (Cmsc) di Losanna e docente di Analisi numerica al Politecnico di Milano.

Il centro Pristem dell’Università Bocconi organizza ogni anno un corso per gli studenti delle superiori intitolate “Orientamatica, Matematica & Realtà” che ha come obiettivo «l’educazione degli studenti alla modellizzazione matematica». A questo indirizzo trovate molti esercizi di matematica applicata per gli studenti soprattutto di classe terza.

Ancora esercizi nella pagina Matematica applicata alla fisica e ingegneria, dalle applicazioni delle equazioni differenziali a situazioni della vita reale, fino alla mia amata cicloide (con un’applet molto bella!).

Non dimentichiamoci inoltre del sito web del Progetto Polymath del Politecnico di Torino, che è una vera e propria miniera d’oro per quanto riguarda quello l’approccio a partire dalle “motivazioni” concrete e della loro storia.
E per quanto riguarda la storia ecco un vero e proprio gioiello: il testo scaricabile integralmente in pdf a questo indirizzo (e consultabile on line qui) Alle origini della matematica applicata: le scuole d’abaco di Vico Montebelli, già impostato come una presentazione in power point (quindi pronto per il videoproiettore!) e che è un corso di aggiornamento che farò il prima possibile. Leggendo qua e là scopro che già il metodo di apprendimento di queste scuole era “applicativo” ecc. ecc. credo che sia un testo utilissimo per integrare la discussione pedagogica con la conoscenza della storia della matematica.

A proposito di pedagogia della matematica, molto interessante l’intervista di Roberto Natalini a Emma Castelnuovo.

Come sempre un link a lineediscienza: l’approccio pedagogico di Paul Lockhart , che è in un certo senso “opposto” a quello proposto da Garfunkel e Mumford, in linea con il famoso pamphlet di G. H. Hardy…

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