Linee di scienza

La notizia è straordinaria (sì, lo so ci sono anche i neutrini… ma ne parlerò settimana prossima!! ):
«Per la prima volta ricercatori dell’Università di Milano-Bicocca e della New York University sono riusciti a costruire “gabbie” fatte di molecole che riescono a ospitare altre molecole cambiandone forma e proprietà. Le strutture, tenute insieme da legami a idrogeno, sono molto stabili e, cosa ancor più straordinaria, assumono le forme geometriche che gli studiosi decidono di volta in volta di realizzare». Quando l’ho letta, la mia parte matematica ha gioito, perché le prime forme geometriche sperimentate dai ricercatori sono state quelle dei  13 poliedri Archimedei, figure ideali della geometria solida descritte nel III secolo a.C.

La ricerca è durata due anni ed è il frutto della collaborazione fra Angiolina Comotti ricercatrice di Chimica Fisica nel Dipartimento di Scienza dei Materiali dell’Università di Milano-Bicocca e il professor Michael Ward del Dipartimento di Chimica della New York University; i risultati sono stati pubblicati sul numero del 21 luglio 2011 della rivista Science.
Nel comunicato stampa si legge che grazie a questo “confinamento molecolare” (dovuto alle gabbie che hanno una geometria “artificiale”) le molecole ospitate in esse acquistano nuove proprietà che per via chimica sarebbe impossibile conseguire. «È una bella soddisfazione – dice Angiolina Comotti – riuscire a costruire ciò che si è progettato a tavolino e ancor di più far fare alle molecole compiti precisi. È un po’ come se riuscissimo a far cambiare mestiere alle molecole».

Questo argomento si può sviluppare in classe da vari punti di vista, perché coinvolge fisica, chimica, geometria e biologia (penso al collegamento con i virus, che sono gabbie molecolari “naturali”, o al legame fra struttura terziaria e funzione delle proteine…).
Lineediscienza preferisce orientarsi verso il legame fra forme geometriche e natura, di eco pitagorico, che è un altro bell’esempio di come la matematica sia un linguaggio molto fecondo per la fisica. E la matematica in questione è la geometria.
Il primo approfondimento didattico potrebbe riguardare la scoperta dei quasi cristalli: provare a fare un brain storming a partire dalla domanda “che cos’è un cristallo secondo voi?” e portare poi immagini di reticoli cristallini insieme a diverse definizioni, come “un cristallo è costituito da un arrangiamento periodico di atomi o gruppi di atomi, detto reticolo”. Legare la struttura microscopica regolare dei cristalli alla proprietà geometrica di simmetria. “Quanti tipi di simmetria può avere un cristallo di NaCl?” ecc. Dal punto di vista matematico, certi tipi di simmetrie per rotazione sono però impossibili da realizzare nei reticoli periodici: per esempio la cosiddetta “simmetria di rotazione quintupla rispetto a un asse”, cioè la rotazione di un angolo di 72° (che corrisponde a un quinto di 360°) rispetto a un qualsiasi asse scelto, creerà una configurazione sempre diversa da quella del reticolo di partenza.
L’aspetto sensazionale è che nel 1982 dalle analisi spettroscopiche compiute da Dan Shechtman di alcune sostanze metalliche, emerse proprio questa simmetria quintupla, che la geometria aveva dimostrato “impossibile”! Gli atomi di tali sostanze – chiamate poi “quasi cristalli” – sono disposti in maniera ordinata ma non periodica. I matematici chiamano tali strutture “tassellature non periodiche dello spazio” e i bellissimi lavori di Roger Penrose ne sono un esempio.
A questo punto si può anche assegnare una ricerca sulle tecniche spettroscopiche in fisica che permettono di svelare la struttura interna dei materiali, per concentrarsi sulla diffrazione a raggi x. E portare in classe un Cd per vedere lo spettro (chiamiamolo anche “arcobaleno”…) che si crea, grazie alla diffrazione di Bragg. Viceversa, se si sta affrontando l’argomento di ottica, si può parlare dei quasi cristalli come una delle possibili applicazioni pratiche della diffrazione.

Un’altra proposta di riflessione in classe è di tipo filosofico-storico, che prende in considerazione il modello dell’universo che ideò Keplero basato sui cinque poliedri regolari di Euclide. Secondo tale disegno l’universo è rappresentato come una serie di solidi “annidati” uno dentro l’altro, con al centro il sole. Vi consiglio questo ipertesto intitolato “solidi platonici” che nella pagina dedicata a Keplero, oltre alle illustrazioni storiche, contiene anche il link all’animazione a cura del Planetario di Milano, che ben illustra l’idea cosmologica del grande pensatore.

In rete:

• 52 pagine di lucidi sui quasicristalli, un lavoro in pdf da sfruttare nella lezione frontale: http://studentifisica.110mb.com/corso/file-quinto/Fotonica/2009-2010/lezione15.pdf
• reticoli bidimensionali e simmetria: una trattazione sintetica dell’argomento a cura del prof. Roberto Masciocchi dell’Università dell’Insubria
  http://scienze-como.uninsubria.it/masciocchi/pdf/strutturistica02.pdf
• 65 pagine di approfondimento per la ricerca sulla diffrazione a raggi x: http://www.sa.unina2.it/download/appunti/appunto_373/Lab_Int_Iacovino.pdf
• 59 pagine sempre sulla diffrazione a raggi x: http://www.terra.unimo.it/appunti/958.pdf
• un percorso didattico intitolato “La vita segreta dei cristalli“: http://web.unife.it/progetti/matematicainsieme/sitocristalli/index.html
  (vi consiglio la pagina sulla storia dei poliedri: http://web.unife.it/progetti/matematicainsieme/sitocristalli/cenni_sto00.htm)
• ah già: dimenticavo il mio post sulle simmetrie: 
  http://lineediscienza.linxedizioni.it/2010/06/27/il-mondo-delle-simmetrie/

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Chi non li conosce? Sono i triangoli rettangoli con angoli di 45, 30 e 60 gradi… Si studiano al biennio ma servono tanto anche nel triennio, in trigonometria e  in fisica, dai vettori in poi…. Ogni anno c’è qualche studente che deve ripassarli perché non se li ricorda più. E allora, cosa c’è di meglio di una buona lezione, rapida e chiara, sotto forma di video su youtube?
Sono tentata di proiettarli in classe come ripasso e anche come recupero, forse lo farò! Il loro utilizzo immediato però, secondo me, è proprio da parte degli studenti a casa: provate a vederli e poi fatemi sapere, grazie!
Ecco gli indirizzi:
45°:  http://www.youtube.com/watch?v=xqzzix46hEs
30°-60°: http://www.youtube.com/watch?v=gh66rZpjCEk&feature=related

(link dell’immagine iniziale)

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Ringrazio Maria Teresa Borgato, Dora Orlando e Luigi Tomasi che hanno messo in rete un interessantissimo percorso didattico su matematica e cartografia, un tema – come scrivono gli stessi autori – che è «ai confini tra matematica, astronomia e geografia». Nella premessa all’ipertesto si legge inoltre che: «Spunti e collegamenti si possono anche trovare con altre discipline, quali fisica, storia e filosofia. Viene suggerito un approccio iniziale di tipo storico: come emerge da ricerche didattiche in campo europeo, spesso un’introduzione storica sollecita l’interesse dello studente, favorendone la comprensione e l’autostima, e ne sviluppa le capacità critiche».
Vi invito a leggerlo, a percorrerlo, insieme anche alle parti interattive: è un viaggio ricco di sorprese e spunti per nuovi lavori di classe. Le parti matematiche spaziano dai sistemi di coordinate fino alle curve lossodromiche o ai metodi di triangolazione topografica o alla geometria sferica, per fare solo alcuni esempi.

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Vi consiglio un articolo nel bellissimo blog di Popinga, che contiene sempre approfondimenti interessanti di scienza, matematica, arte e letteratura.
Si intitola “La trisezione del quadrato” e affronta da un punto di vista storico il problema matematico di suddividere un quadrato in tre quadrati più piccoli, fra loro congruenti. Lo trovate a questo indirizzo: http://keespopinga.blogspot.com/2011/01/la-trisezione-del-quadrato.html.
L’immagine seguente invece è un’animazione/frattale realizzata da Ivana Niccolai e che si ispira al quadro Composizione aritmetica di Theo Van Doesburg.

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Questa è la tipica domanda dei miei studenti quando, finita la retta e la circonferenza in geometria analitica, inizio a spiegare l’equazione della parabola. Hanno ragione a domandarmelo, perché se per disegnare una retta basta unire due punti e prolungare in segmento in entrambe le direzioni e se per disegnare una circonferenza basta solo un compasso, il disegno della parabola è un bel problema pratico…. Problema che a scuola si evita passando direttamente all’equazione della curva: infatti la mia tipica risposta è “per costruire una parabola con la matita, il righello e al massimo il compasso, ci sono diversi metodi, che però non affronteremo quest’anno… quest’anno aggireremo il problema grazie all’algebra, che ci verrà in aiuto con l’equazione della parabola… quindi, fidatevi di me, prima ricaveremo l’equazione della parabola e dopo riusciremo a tracciarla in maniera molto più semplice”. Il senso di insoddisfazione che aleggia in classe dopo questa mia risposta, però, c’è sempre, anche perché vogliono riuscire a visualizzare e a “manipolare” subito questo nuovo luogo geometrico…

E allora ho fatto un giro in rete per trovare il materiale adatto allo scopo. In questa pagina dell’ ITG “Rondani” di Parma, si parte con la costruzione della parabola in base alla definizione (“luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissata detta retta direttrice”) da realizzare anche con Cabri e poi si passa a una seconda costruzione classica (il tutto visualizzabile in un’animazione con CabriJava) per terminare con altre due costruzioni molto interessanti che utilizzano rispettivamente il teorema di Talete e quello di Euclide. Oltre alle descrizioni dettagliate contenute nei testi, chiariscono i concetti anche le belle animazioni in Java.
Le due costruzioni classiche sono esposte anche nella pagina della sezione Mathesis ospitata dal Dipartimento di Matematica dell’Università di Milano, con animazioni in Geogebra. Trovate anche quattro metodi per costruire l’ellisse.
In questa pagina trovate invece una miscellanea di materiali dedicati alla parabola, con ancora costruzioni e soprattutto lezioni in Power Point.

Interessantissime sono infine le macchine per disegnare la parabola: il parabolografo del Cavalieri, il parabolografo a filo e i parallelogrammi articolati (altre schede qui). Nei link che vi ho segnalato, ci sono sempre utili filmati.

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